Para os campos de velocidade dados abaixo: O campo de escoamento é uni, bi ou tridimensional, e por quê?
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre campos de velocidade em escoamentos. A questão pergunta se o campo de escoamento dado é unidimensional, bidimensional ou tridimensional, e por quê. Pra resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de como a velocidade varia no espaço e identificar em quantas direções ela atua.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o campo de velocidade que foi dado:
Aqui,
representa a velocidade do fluido em cada ponto do espaço, onde
é uma constante,
,
e
são as coordenadas espaciais, e
é o vetor unitário na direção z.
Passo 3
Vamos entender o que significa cada parte dessa expressão. O termo
é basicamente a distância do ponto
até a origem no plano xy, ou seja, a radial no plano XY. O termo
indica que a velocidade depende da coordenada z de forma inversa ao cubo.
Passo 4
Agora, precisamos determinar em quantas direções a velocidade está atuando e como ela varia no espaço. No caso, a velocidade tem apenas a componente
, que é na direção z. Isso significa que a velocidade está apenas apontando para cima ou para baixo, dependendo do sinal.
Passo 5
Mas não é só isso. Também precisamos ver como essa velocidade varia nas diferentes direções. Aqui,
depende de
,
e
. Ou seja, a velocidade muda conforme nos movemos ao longo das três coordenadas espaciais.
Passo 6
Então, mesmo que a velocidade só tenha uma direção (z), ela varia em todas as três dimensões espaciais. Isso caracteriza um escoamento tridimensional, já que a variação da velocidade ocorre nas três direções (x, y e z).
Resposta
O campo de escoamento é tridimensional, porque a velocidade varia nas três direções espaciais
,
e
.
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O fluido em contato direto com uma fronteira sólida estacionária tem velocidade zero; não há deslizamento na fronteira. Então, o escoamento sobre uma placa plana adere à superfície da placa e forma uma camada limite, como mostrado abaixo. O escoamento à montante da placa é uniforme com velocidade
. A distribuição de velocidade dentro da camada limite
ao longo de
é aproximada por
. A espessura da camada limite na posição
é
. O fluido é o ar com massa específica
. Supondo que a largura da placa perpendicular ao papel seja
, calcule a vazão em massa através da superfície
do volume de controle
.