O fluido em contato direto com uma fronteira sólida estacionária tem velocidade zero; não há deslizamento na fronteira. Então, o escoamento sobre uma placa plana adere à superfície da placa e forma uma camada limite, como mostrado abaixo. O escoamento à montante da placa é uniforme com velocidade V=U i ; U=30 m / s. A distribuição de velocidade dentro da camada limite (0 <= y <= de ao longo de c d é aproximada por u=U cdot[2(yde. A espessura da camada limite na posição d é de. O fluido é o ar com massa específica rho=1,24 kg / m^3. Supondo que a largura da placa perpendicular ao papel seja w=0,6 m, calcule a vazão em massa através da superfície b c do volume de controle a b c d.

Passo 1

Vamos resolver um problema de mecânica dos fluidos relacionado à camada limite formada quando o ar flui sobre uma placa plana. Precisamos calcular a vazão em massa através de uma superfície específica do volume de controle. Para isso, vamos utilizar conhecimentos sobre fluxo de fluidos, perfis de velocidade na camada limite e integração para encontrar a vazão.

Passo 2

Primeiro, entendemos que a velocidade do fluxo uniforme à montante é , onde . A camada limite tem uma espessura na posição .

Passo 3

A distribuição de velocidade dentro da camada limite é dada por:
u(y) = U [ 2 ( yde
onde é a distância da placa.

Passo 4

A vazão em massa dotm = rho cdot w cdot integral0^de pode ser calculada integrando a velocidade sobre a área transversal da camada limite. A fórmula geral é:
onde:
  • é a densidade do ar,
  • é a largura da placa.

Passo 5

Substituindo a expressão de dotm = 1,24 times 0,6 times integral0^0,005 30 [ 2 ( y0,005 ) - ( y0,005 )^2 ] dy na integral:

Passo 6

Simplificando os termos constantes:
dotm = 1,24 times 0,6 times 30 times integral0^0,005 [ 2 ( y0,005 ) - ( y0,005 )^2 ] dy
dotm = 22,32 times integral0^0,005 ( 400y - 80000y^2 ) dy

Passo 7

Calculando a integral:
integral ( 400y - 80000y^2 ) dy = 200y^2 - 800003y^3
Avaliando de 0 a 0,005:
200(0,005)^2 - 800003(0,005)^3 = 200 times 0,000025 - 800003 times 0,000000125
= 0,005 - 800003 times 0,000000125 approx 0,005 - 0,00333 = 0,00167 , m^2/s

Passo 8

Multiplicando pelo fator constante:
dotm = 22,32 times 0,00167 approx 0,0372 , kg/s

Resposta

A vazão em massa através da superfície é aproximadamente .

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