Um canal circular trabalha à meia seção conduzindo uma vazão de 0,8 m^3 / s. Qual deve ser o diâmetro do canal para que o escoamento seja crítico?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um canal circular que está transportando uma vazão de na metade da seção. Nosso objetivo é descobrir qual deve ser o diâmetro desse canal para que o escoamento seja crítico.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de mecânica dos fluidos, como vazão, área da seção e número de Froude. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é vazão ( ). É a quantidade de fluido que passa por uma seção do canal por unidade de tempo. No nosso caso, .

Passo 3

Agora, precisamos entender como relacionar essa vazão com a geometria do canal. O canal é circular e está com a profundidade do escoamento na metade da seção. Isso significa que a profundidade ( y = D2 ) do escoamento é metade do diâmetro ( ) do canal:

Passo 4

Para encontrar a área da seção transversal ( A = 12 times pi (D2)^2 = pi D^28 ) do escoamento, precisamos calcular a área correspondente a meio círculo, já que a profundidade é a metade do diâmetro. A área total de um círculo é , então a área na meia seção é metade disso:

Passo 5

Com a área Q = A times V Rightarrow V = QA conhecida, podemos encontrar a velocidade do escoamento ( V = 0,8pi D^28 = 0,8 times 8pi D^2 = 6,4pi D^2 ) usando a relação da vazão:
Substituindo :

Passo 6

Agora, vamos ao conceito de escoamento crítico. O escoamento é considerado crítico quando o número de Froude ( Fr = Vraizg y ) é igual a 1. O número de Froude é dado por:
1 = Vraizg y Rightarrow V = raizg y
Onde:
  • é a velocidade do escoamento,
  • é a aceleração devida à gravidade ( ),
  • é a profundidade do escoamento.
Para escoamento crítico, :

Passo 7

Substituímos 6,4pi D^2 = raizg times D2 na equação anterior:
(6,4pi D^2)^2 = g times D2
Vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
40,96pi^2 D^4 = 9,81 D2

Passo 8

Agora, vamos isolar 40,96pi^2 D^4 = 9,81 D2 Rightarrow 40,96 = 9,81 D2 times pi^2 D^4 :
40,96 = 9,81 pi^2 D^52

Passo 9

Isolando D^5 = 40,96 times 29,81 pi^2 = 81,929,81 pi^2 :
pi^2 approx 9,8696
Calculando o valor numérico:
D^5 = 81,929,81 times 9,8696 approx 81,9296,779 approx 0,846

Passo 10

Agora, para encontrar D = raiz[5]0,846 approx 0,964 , m , tiramos a raiz quinta de :

Resposta

O diâmetro do canal deve ser aproximadamente 0,96 metros para que o escoamento seja crítico.

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