Uma vazão Q pode escoar num canal retangular no regime fluvial com uma altura y1 de 3 m , e, no regime torrencial com uma altura y2 de 1 m . Determinar a altura crítica deste canal para a vazão .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que uma vazão está escoando em um canal retangular com duas alturas diferentes dependendo do regime: no regime fluvial (mais tranquilo) a altura é de 3 metros, e no regime torrencial (mais rápido) a altura é de 1 metro. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a altura crítica desse canal para a vazão . Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos, especialmente relacionados ao regime de escoamento em canais abertos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é altura crítica. A altura crítica é a altura do fluxo onde a energia específica é mínima, ou seja, é o ponto de transição entre regimes de escoamento subcrítico (fluvial) e supercrítico (torrencial). Para encontrar essa altura, precisamos usar a equação da Conservação de Energia aplicada a escoamentos em canais abertos.

Passo 3

Em um canal retangular, a vazão pode ser expressa pela fórmula:
onde:
  • é a largura do canal,
  • é a altura do fluxo,
  • é a velocidade do fluxo.
Como a largura do canal é constante e a vazão também é constante, podemos relacionar as diferentes alturas e velocidades nos regimes fluvial e torrencial.

Passo 4

No regime fluvial (subcrítico), temos:
E no regime torrencial (supercrítico):
Como e são iguais nos dois regimes, podemos igualar as expressões:
Isso nos mostra a relação entre as velocidades nos dois regimes.

Passo 5

A Velocidade de Froude ( ) é uma dimensão adimensional que ajuda a determinar o regime de escoamento. Ela é definida como:
onde é a aceleração da gravidade (aproximadamente ).
No ponto crítico, , então:

Passo 6

Usando as relações de vazão nos regimes fluvial e torrencial e a expressão para a velocidade crítica, podemos montar a equação para a altura crítica :
Simplificando:
Podemos rearranjar para resolver :

Passo 7

Agora, precisamos expressar em termos das condições dadas nos regimes fluvial e torrencial. Usando a relação e as expressões de velocidade em termos da velocidade de Froude, podemos encontrar e, consequentemente, .

Passo 8

Após realizar os cálculos necessários e substituir os valores conhecidos:

Resposta

A altura crítica do canal para a vazão é de 2 metros.

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