Um canal de comunicação binária transmite mensagens utilizando os dígitos 0 e 1.0 digito 1 é transmitido 40 % das vezes. A probabilidade de um digito 0 transmitido ser recebido corretamente é 0,9 e a probabilidade de que um digito 1 transmitido seja recebido corretamente é 0,95. Dado que um digito 0 foi recebido, qual é probabilidade de que o mesmo tenha sido transmitido?

Passo 1

Vamos resolver um problema de probabilidade envolvendo comunicação binária. Aqui, trabalharemos com conceitos de probabilidade condicional e Teorema de Bayes. Precisaremos calcular a chance de um dígito 0 ter sido realmente transmitido, dado que 0 foi recebido.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as informações que temos:
  • Probabilidade de transmitir 1 (P(T=1)): 40% ou 0,4.
  • Probabilidade de transmitir 0 (P(T=0)): Como é binária e 1 é 40%, então 60% ou 0,6.
  • Probabilidade de receber corretamente 0 (P(R=0|T=0)): 0,9.
  • Probabilidade de receber corretamente 1 (P(R=1|T=1)): 0,95. Então, a probabilidade de receber 0 quando 1 foi transmitido (P(R=0|T=1)) é 1 - 0,95 = 0,05.

Passo 3

Queremos encontrar a probabilidade de que um 0 tenha sido transmitido dado que 0 foi recebido, ou seja, P(T=0|R=0). Para isso, usamos o Teorema de Bayes, que diz:
P(T=0|R=0) = P(R=0|T=0) times P(T=0)P(R=0)

Passo 4

Vamos calcular P(R=0), que é a probabilidade de recebermos 0 de qualquer transmissão. Usamos a Regra da Probabilidade Total:
P(R=0) = P(R=0|T=0) times P(T=0) + P(R=0|T=1) times P(T=1)
Substituindo os valores:
P(R=0) = 0,9 times 0,6 + 0,05 times 0,4 = 0,54 + 0,02 = 0,56

Passo 5

Agora, aplicamos o Teorema de Bayes com os valores encontrados:
P(T=0|R=0) = 0,9 times 0,60,56 = 0,540,56 approx 0,9643

Resposta

A probabilidade de que o dígito transmitido foi 0, dado que 0 foi recebido, é aproximadamente 96,43%.

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