Existem n peças num lote, 3 das quais são defeituosas. Qual é o valor de n se a probabilidade de que duas peças retiradas aleatoriamente do lotes são defeituosas é igual a ½?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um lote com $ n $ peças, das quais 3 são defeituosas. Queremos descobrir qual é o valor de $ n $ sabendo que a probabilidade de tirar 2 peças defeituosas de forma aleatória é igual a $ \frac{1}{2} $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade combinatória, que nos ajuda a calcular as chances de certos eventos acontecerem quando estamos lidando com seleções de itens.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como calcular a probabilidade de tirar 2 peças defeituosas. Para isso, precisamos saber:
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Número de maneiras de escolher 2 peças defeituosas: Como temos 3 peças defeituosas, isso é dado pela combinação de 3 elementos tomados 2 a 2, que escrevemos como $ C(3, 2) $.
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Número total de maneiras de escolher 2 peças quaisquer do lote: Com $ n $ peças no total, isso é $ C(n, 2) $.
A fórmula da combinação $ C(k, m) $ é:
Passo 3
Vamos calcular $ C(3, 2) $:
Isso significa que existem 3 maneiras de escolher 2 peças defeituosas dentre as 3 disponíveis.
Passo 4
Agora, vamos calcular $ C(n, 2) $:
Isso representa o total de maneiras de escolher qualquer 2 peças do lote de $ n $ peças.
Passo 5
A probabilidade de tirar 2 peças defeituosas é a razão entre o número de maneiras de tirar 2 defeituosas e o número total de maneiras de tirar 2 peças:
Segundo o problema, essa probabilidade é igual a $ \frac{1}{2} $. Então, temos:
Passo 6
Agora, vamos resolver a equação para encontrar $ n $:
Multiplicando ambos os lados por $ n(n - 1) $ para eliminar o denominador:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Expandindo o lado direito:
Trabalhando para formar uma equação quadrática igual a zero:
Passo 7
Vamos resolver a equação quadrática $ n^2 - n - 12 = 0 $. Usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, $ a = 1 $, $ b = -1 $ e $ c = -12 $. Substituindo:
Isso nos dá duas soluções:
Como $ n $ representa o número de peças, não pode ser negativo. Portanto, descartamos $ n = -3 $.
Resposta
O valor de $ n $ é 4.