Existem n peças num lote, 3 das quais são defeituosas. Qual é o valor de n se a probabilidade de que duas peças retiradas aleatoriamente do lotes são defeituosas é igual a ½?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um lote com $ n $ peças, das quais 3 são defeituosas. Queremos descobrir qual é o valor de $ n $ sabendo que a probabilidade de tirar 2 peças defeituosas de forma aleatória é igual a $ \frac{1}{2} $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade combinatória, que nos ajuda a calcular as chances de certos eventos acontecerem quando estamos lidando com seleções de itens.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular a probabilidade de tirar 2 peças defeituosas. Para isso, precisamos saber:
  1. Número de maneiras de escolher 2 peças defeituosas: Como temos 3 peças defeituosas, isso é dado pela combinação de 3 elementos tomados 2 a 2, que escrevemos como $ C(3, 2) $.
  2. Número total de maneiras de escolher 2 peças quaisquer do lote: Com $ n $ peças no total, isso é $ C(n, 2) $.
A fórmula da combinação $ C(k, m) $ é:
C(3, 2)

Passo 3

Vamos calcular $ C(3, 2) $:
C(3, 2)
Isso significa que existem 3 maneiras de escolher 2 peças defeituosas dentre as 3 disponíveis.

Passo 4

Agora, vamos calcular $ C(n, 2) $:
C(n, 2)
Isso representa o total de maneiras de escolher qualquer 2 peças do lote de $ n $ peças.

Passo 5

A probabilidade de tirar 2 peças defeituosas é a razão entre o número de maneiras de tirar 2 defeituosas e o número total de maneiras de tirar 2 peças:
Probabilidade = C(3, 2)C(n, 2) = 3n(n - 1)2 = 6n(n - 1)
Segundo o problema, essa probabilidade é igual a $ \frac{1}{2} $. Então, temos:
12

Passo 6

Agora, vamos resolver a equação para encontrar $ n $:
n
Multiplicando ambos os lados por $ n(n - 1) $ para eliminar o denominador:
6n(n - 1) = 12
Multiplicando ambos os lados por 2:
n(n - 1)
Expandindo o lado direito:
6 = n(n - 1)2
Trabalhando para formar uma equação quadrática igual a zero:
12 = n(n - 1)

Passo 7

Vamos resolver a equação quadrática $ n^2 - n - 12 = 0 $. Usando a fórmula de Bhaskara:
n^2 - n - 12 = 0
Aqui, $ a = 1 $, $ b = -1 $ e $ c = -12 $. Substituindo:
n = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Isso nos dá duas soluções:
a = 1
Como $ n $ representa o número de peças, não pode ser negativo. Portanto, descartamos $ n = -3 $.

Resposta

O valor de $ n $ é 4.

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