Uma pesquisa de opinião determinou que a probabilidade de que uma pessoa consuma o produto A é 0,50 , que consuma o produto B é 0,37 que consuma o produto C é 0,30 , que consuma A e B é 0,12 , que consuma somente o produto A e C é 0,08 , que consuma somente B e C é 0,05 e que consuma somente C é 0,15 . Construa o diagrama de Venn e aloque as probabilidades para cada um dos eventos do gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício que envolve probabilidades e diagramas de Venn. A gente precisa construir um diagrama de Venn para três produtos, A, B e C, e alocar as probabilidades em cada parte do diagrama. Para isso, vamos usar conceitos básicos de probabilidade e como eles se relacionam em diagramas de Venn.

Passo 2

Primeiro, vamos listar todas as informações que temos:
  • Probabilidade de consumir o produto A: $ P(A) = 0,50 $
  • Probabilidade de consumir o produto B: $ P(B) = 0,37 $
  • Probabilidade de consumir o produto C: $ P© = 0,30 $
  • Probabilidade de consumir A e B: $ P(A \cap B) = 0,12 $
  • Probabilidade de consumir apenas A e C: $ P(A \cap C somente) = 0,08 $
  • Probabilidade de consumir apenas B e C: $ P(B \cap C somente) = 0,05 $
  • Probabilidade de consumir apenas C: $ P(C somente) = 0,15 $

Passo 3

Agora, vamos identificar a parte do diagrama onde todos os três produtos são consumidos juntos, ou seja, $ P(A \cap B \cap C) $. Como temos a probabilidade de consumir apenas C e as interações com A e B, podemos calcular essa parte.
Sabemos que:
P(A cap B cap C)
Substituindo os valores:
P(C) = P(C somente) + P(A cap C somente) + P(B cap C somente) + P(A cap B cap C)
0,30 = 0,15 + 0,08 + 0,05 + P(A cap B cap C)

Passo 4

Com isso, podemos agora encontrar as probabilidades das interseções que envolvem dois produtos, excluindo a parte que envolve os três juntos. Por exemplo, para $ P(A \cap B) $:
P(A cap B)
P(A cap B) = P(A cap B somente) + P(A cap B cap C)
0,12 = P(A cap B somente) + 0,02

Passo 5

Vamos fazer o mesmo para $ P(A) $ e $ P(B) $ para encontrar as partes que envolvem apenas um produto:
P(A)
P(B)
P(A) = P(A somente) + P(A cap B somente) + P(A cap C somente) + P(A cap B cap C)
E para B:
0,50 = P(A somente) + 0,10 + 0,08 + 0,02
P(A somente) = 0,50 - 0,10 - 0,08 - 0,02 = 0,30
P(B) = P(B somente) + P(A cap B somente) + P(B cap C somente) + P(A cap B cap C)

Passo 6

Agora que temos todas as partes do diagrama, vamos resumir:
  • Apenas A: $ 0,30 $
  • Apenas B: $ 0,20 $
  • Apenas C: $ 0,15 $
  • A e B somente: $ 0,10 $
  • A e C somente: $ 0,08 $
  • B e C somente: $ 0,05 $
  • A, B e C: $ 0,02 $

Resposta

O diagrama de Venn com as probabilidades alocadas para cada região fica assim:
  • Apenas A: $ 0,30 $
  • Apenas B: $ 0,20 $
  • Apenas C: $ 0,15 $
  • A e B somente: $ 0,10 $
  • A e C somente: $ 0,08 $
  • B e C somente: $ 0,05 $
  • A, B e C: $ 0,02 $

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