Um canal de comunicação transporta dois tipos de sinais, denotados por 0 e 1 . Devido ao ruído, um 0 transmitido pode ser recebido como 1 e 1 como 0 . Para um dado canal, assuma a probabilidade de 0.94 que um 0 transmitido é corretamente recebido como 0 e a probabilidade de 0.91 que um 1 é recebido como 1 . Assuma também a probabilidade 0.45 de transmitir um 0 . Determine a probabilidade de que um 0 foi transmitido dado que um 0 foi recebido.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um canal de comunicação que transmite dois tipos de sinais: 0 e 1. Devido ao ruído no canal, às vezes o sinal pode ser confundido, ou seja, um 0 pode ser recebido como 1 e vice-versa. A gente sabe que a probabilidade de um 0 ser recebido corretamente como 0 é 0,94, e a probabilidade de um 1 ser recebido corretamente como 1 é 0,91. Além disso, a probabilidade de transmitir um 0 é 0,45. O que precisamos descobrir é: qual a probabilidade de que um 0 foi realmente transmitido, dado que foi recebido um 0? Vamos usar conceitos de probabilidade condicional e teorema de Bayes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é probabilidade condicional. É a probabilidade de um evento acontecer dado que outro evento já ocorreu. No nosso caso, queremos saber a probabilidade de um 0 ter sido transmitido dado que recebemos um 0. Isso é representado como .

Passo 3

Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Bayes, que nos ajuda a inverter as probabilidades condicionais. A fórmula do Teorema de Bayes é:
P(A|B) = P(B|A) cdot P(A)P(B)
Aqui, é o evento “0 foi transmitido” e é o evento “0 foi recebido”.

Passo 4

Vamos identificar cada parte da fórmula com os valores que temos:
  • é a probabilidade de recebermos 0 dado que foi transmitido 0, que é 0,94.
  • é a probabilidade de transmitir 0, que é 0,45.
  • é a probabilidade de recebermos 0, independente do que foi transmitido. Para calcular isso, precisamos considerar todas as maneiras de recebermos 0: ou transmitimos 0 e recebemos corretamente, ou transmitimos 1 e recebemos 0 por erro.

Passo 5

Calculando P(B) = P(0recebido | 0transmitido) cdot P(0transmitido) + P(0recebido | 1transmitido) cdot P(1transmitido) , temos:
Sabemos que é a probabilidade de erro ao receber 0 quando foi transmitido 1. Como , a probabilidade de erro é .
Além disso, .

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula de P(B) = 0,94 cdot 0,45 + 0,09 cdot 0,55 :
P(B) = 0,423 + 0,0495 = 0,4725

Passo 7

Agora, aplicando o Teorema de Bayes:
P(0transmitido | 0recebido) = 0,94 cdot 0,450,4725
P(0transmitido | 0recebido) = 0,4230,4725 approx 0,894

Resposta

A probabilidade de que um 0 tenha sido transmitido dado que um 0 foi recebido é aproximadamente 89,4%.

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