Um canal de comunicação transporta dois tipos de sinais, denotados por 0 e 1 . Devido ao ruído, um 0 transmitido pode ser recebido como 1 e 1 como 0 . Para um dado canal, assuma a probabilidade de 0.94 que um 0 transmitido é corretamente recebido como 0 e a probabilidade de 0.91 que um 1 é recebido como 1 . Assuma também a probabilidade 0.45 de transmitir um 0 . Determine a probabilidade de que um 0 foi transmitido dado que um 0 foi recebido.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um canal de comunicação que transmite dois tipos de sinais: 0 e 1. Devido ao ruído no canal, às vezes o sinal pode ser confundido, ou seja, um 0 pode ser recebido como 1 e vice-versa. A gente sabe que a probabilidade de um 0 ser recebido corretamente como 0 é 0,94, e a probabilidade de um 1 ser recebido corretamente como 1 é 0,91. Além disso, a probabilidade de transmitir um 0 é 0,45. O que precisamos descobrir é: qual a probabilidade de que um 0 foi realmente transmitido, dado que foi recebido um 0? Vamos usar conceitos de probabilidade condicional e teorema de Bayes para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é probabilidade condicional. É a probabilidade de um evento acontecer dado que outro evento já ocorreu. No nosso caso, queremos saber a probabilidade de um 0 ter sido transmitido dado que recebemos um 0. Isso é representado como
.
Passo 3
Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Bayes, que nos ajuda a inverter as probabilidades condicionais. A fórmula do Teorema de Bayes é:
Aqui,
é o evento “0 foi transmitido” e
é o evento “0 foi recebido”.
Passo 4
Vamos identificar cada parte da fórmula com os valores que temos:
-
é a probabilidade de recebermos 0 dado que foi transmitido 0, que é 0,94. -
é a probabilidade de transmitir 0, que é 0,45. -
é a probabilidade de recebermos 0, independente do que foi transmitido. Para calcular isso, precisamos considerar todas as maneiras de recebermos 0: ou transmitimos 0 e recebemos corretamente, ou transmitimos 1 e recebemos 0 por erro.
Passo 5
Calculando
, temos:
Sabemos que
é a probabilidade de erro ao receber 0 quando foi transmitido 1. Como
, a probabilidade de erro é
.
Além disso,
.
Passo 6
Substituindo os valores na fórmula de
:
Passo 7
Agora, aplicando o Teorema de Bayes:
Resposta
A probabilidade de que um 0 tenha sido transmitido dado que um 0 foi recebido é aproximadamente 89,4%.
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Indique as regras (ou postulados/axiomas) de probabilidade que são violados pelas seguintes afirmações, expressando também simbolicamente na linguagem de eventos:
b) A probabilidade de um estudante consumir ao menos uma bebida numa calourada é 0,60 , enquanto que a probabilidade de consumir mais de duas é 0,70 ;
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e
. Calcule:
(a) .
(a)
Em uma fábrica de peças, as máquinas
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