Um canal retangular com declividade de fundo
, com paredes e fundo de concreto em condições regulares (
), deve transportar, em regime permanente e uniforme, uma vazão de
. Qual deve ser a largura da seção para que a velocidade média seja máxima.
:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um canal retangular com certa inclinação e características específicas, que precisa transportar uma certa quantidade de água de forma estável. A gente vai usar conceitos de hidráulica, mais especificamente a equação de Manning, que ajuda a relacionar a vazão, a área da seção, o raio hidráulico e a inclinação do canal. Nosso objetivo é descobrir qual deve ser a largura do canal para que a velocidade média da água seja a máxima possível, dado que a vazão é de 2,0 m³/s.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação de Manning, que é uma fórmula usada para calcular a vazão (Q) em canais abertos. Ela é dada por:
Onde:
- $ Q $ é a vazão (m³/s),
- $ n $ é o coeficiente de rugosidade de Manning,
- $ A $ é a área da seção transversal do fluxo (m²),
- $ R $ é o raio hidráulico (m),
- $ I $ é a inclinação do canal.
No nosso caso, sabemos que $ Q = 2,0 $ m³/s, $ n = 0,016 $ e $ I = 0,001 $ (já que a declividade é $ \frac{1}{1000} $).
Passo 3
Vamos determinar a área da seção transversal ($ A $) para um canal retangular. A área é simplesmente a largura vezes a profundidade:
Onde:
- $ b $ é a largura do canal,
- $ y $ é a profundidade da água.
Mas como queremos maximizar a velocidade média, que é $ V = \frac{Q}{A} $, precisamos encontrar uma relação entre $ b $ e $ y $ que nos ajude a otimizar essa velocidade.
Passo 4
O raio hidráulico ($ R
P $):
Para um canal retangular, o perímetro molhado é:
Então, o raio hidráulico fica:
Passo 5
Agora, substituímos $ A $ e $ R $ na equação de Manning:
Nossa meta aqui é encontrar uma relação entre $ b $ e $ y $ que maximize a velocidade. Porém, para simplificar, podemos relacionar $ b $ com $ y $ de forma que a velocidade $ V = \frac{Q}{A} $ seja maximizada.
Passo 6
Vamos considerar que para maximizar $ V $, devemos minimizar $ A $, já que $ Q $ é constante. Então, queremos minimizar $ b \times y $.
A partir da equação de continuidade ($ Q = b \times y \times V $), e sabendo que $ V $ é máximo quando $ A $ é mínimo, vamos derivar a equação de Manning em relação a $ b $ e encontrar o valor que otimiza.
Passo 7
Para otimizar, derivamos a equação de Manning em relação a $ b $ e igualamos a zero:
Após alguns cálculos (que envolvem o uso de cálculo diferencial), chegamos à relação que nos dá a largura $ b $ que maximiza a velocidade média.
Passo 8
Após resolver a equação, encontramos que a largura ótima do canal é aproximadamente:
Resposta
$ b = 1,84 , \mathrm{m} $