Um canal trapezoidal deve transportar, em regime uniforme, uma vazão de 3,25 m^3 / s, com uma declividade de fundo I0=0,0005 m / m trabalhando na seção de mínimo perímetro molhado. A inclinação dos taludes é de 0,5 H: 1 V e o revestimento será em alvenaria de pedra argamassada em condições regulares. Determine a altura d

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de hidráulica onde precisamos determinar a altura de um canal trapezoidal. Vamos usar a Equação de Manning para resolver esse problema. Precisamos entender como calcular a área e o perímetro molhado do canal, além de aplicar a fórmula de Manning para fluxo uniforme.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Equação de Manning, que serve para calcular a vazão em canais abertos:
Q = 1n A R^2/3 I0^1/2
Onde:
  • é a vazão (no caso, )
  • é o coeficiente de rugosidade de Manning (para alvenaria regular, geralmente )
  • é a área da seção transversal do fluxo
  • é o raio hidráulico ( )
  • é a declividade da linha de energia (no caso, )

Passo 3

Vamos definir a geometria do canal trapezoidal. Ele tem lados com inclinação A = b cdot d + z cdot d^2 , ou seja, para cada 1 metro de altura, a base se estende 0,5 metros.
A área da seção transversal é dada por:
Onde:
  • é a largura da base
  • é a altura que queremos encontrar
  • é a inclinação dos taludes (no caso, )
Como estamos na seção de mínimo perímetro molhado, podemos relacionar a largura da base com a altura .

Passo 4

Para o perímetro molhado P = b + 2d raiz1 + z^2 , temos:
P = b + 2d raiz1 + 0,25 = b + 2d raiz1,25 approx b + 2d cdot 1,118 = b + 2,236d
Substituindo :

Passo 5

O raio hidráulico R = AP = b cdot d + z cdot d^2b + 2,236d é:

Passo 6

Substituindo 3,25 = 10,015 cdot b cdot d + 0,5 cdot d^2b + 2,236d^2/3 cdot 0,0005^1/2 e na Equação de Manning:

Passo 7

Precisamos encontrar uma relação entre b = 2z d e b = 2 cdot 0,5 cdot d = d . Na seção de mínimo perímetro molhado para um canal trapezoidal, a largura pode ser expressa em função de e da inclinação dos taludes.
Usando a condição de mínimo perímetro, temos que:
Substituindo :

Passo 8

Agora, substituímos 3,25 = 10,015 cdot d cdot d + 0,5 cdot d^2d + 2,236d^2/3 cdot raiz0,0005 na Equação de Manning:
3,25 = 10,015 cdot 1,5d^23,236d^2/3 cdot 0,02236
Simplificando:

Passo 9

Resolvendo passo a passo:
1,5d^23,236d = 1,53,236 d approx 0,4637d
Elevando a (0,4637d)^2/3 = 0,4637^2/3 cdot d^2/3 approx 0,624 cdot d^2/3 :
3,25 = 10,015 cdot 0,624 d^2/3 cdot 0,02236
Substituindo de volta:
10,015 cdot 0,624 cdot 0,02236 approx 0,931
Calculando os coeficientes:
3,25 = 0,931 cdot d^2/3
Então:

Passo 10

Isolando d^2/3 = 3,250,931 approx 3,49 :
d = (3,49)^32 approx 6,53 , m
Elevando ambos os lados à potência :

Resposta

A altura do canal trapezoidal é aproximadamente 6,53 metros.

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