Seja V=R^3
a) Mostre que <(x1, y1, z1),(x2, y2, z2)>=x1 x2+y1 y2+z1 z2 é um produto interno

Passo 1

Então, a gente tem um espaço vetorial V = R^3 e uma operação definida por <(x1, y1, z1),(x2, y2, z2)>=x1 x2+y1 y2+z1 z2. O objetivo aqui é mostrar que essa operação é um produto interno. Para fazer isso, vamos precisar entender o que é um produto interno e quais propriedades ele deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um produto interno. Basicamente, um produto interno em um espaço vetorial é uma maneira de multiplicar dois vetores para obter um número real, e ele deve seguir certas regras:
  1. Comutatividade: =
  2. Linearidade no primeiro argumento: = a + b
  3. Positividade: >= 0 e = 0 se e somente se v for o vetor nulo.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a operação dada.

Passo 3

1. Comutatividade
Temos que mostrar que <(x1, y1, z1),(x2, y2, z2)>=<(x2, y2, z2),(x1, y1, z1)>.
Calculando ambos:
<(x1, y1, z1),(x2, y2, z2)>=x1x2+y1y2+z1z2
<(x2, y2, z2),(x1, y1, z1)>=x2x1+y2y1+z2z1
Como a multiplicação de números reais é comutativa ( x1x2 = x2x1, etc.), as duas expressões são iguais. Logo, a comutatividade está satisfeita.

Passo 4

2. Linearidade no primeiro argumento
Vamos mostrar que para quaisquer vetores u = (x1, y1, z1), v = (x2, y2, z2) e escalares a, b, temos:
Calculando o lado esquerdo:
a u + b v = (a x1 + b x2, a y1 + b y2, a z1 + b z2)
< a u + b v, w> = (a x1 + b x2)w1 + (a y1 + b y2)w2 + (a z1 + b z2)w3
Expandindo:
= a x1w1 + b x2w1 + a y1w2 + b y2w2 + a z1w3 + b z2w3
Agrupando os termos com a e b:
= a(x1w1 + y1w2 + z1w3) + b(x2w1 + y2w2 + z2w3)
Isso é igual a:
a + b
Portanto, a linearidade no primeiro argumento está satisfeita.

Passo 5

3. Positividade
Precisamos mostrar que >= 0 e que = 0 se e somente se v = (0, 0, 0).
Calculando :
<(x, y, z),(x, y, z)>=x^2+y^2+z^2
Sabemos que x^2, y^2 e z^2 são sempre números não negativos. Portanto, a soma x^2+y^2+z^2 também é não negativa, ou seja, >= 0.
Além disso, x^2+y^2+z^2 = 0 somente se x = 0, y = 0 e z = 0. Logo, = 0 se e somente se v = (0, 0, 0).

Resposta

Portanto, a operação definida por <(x1, y1, z1),(x2, y2, z2)>=x1x2+y1y2+z1z2 satisfaz todas as propriedades de um produto interno em R^3.

Exercícios relacionados

Determine uma base ortogonal em relação ao produto interno usual do subespaço do R^3
V=(x, y, z) in R^3 mid x-y+z=0
Seja T: R^3 R^3 a transformação linear cuja matriz na base canônica é
[T]=[rrr 1 & -1 & 0 0 & 3 & 0 1 & 1 & 1 ]
Determine:
(e) Té diagonalizável? Justifique. Caso afirmativo, encontre uma base que diagonaliza o operador T.
Um canal trapezoidal deve transportar, em regime uniforme, uma vazão de 3,25 m^3 / s, com uma declividade de fundo I0=0,0005 m / m trabalhando na seção de mínimo perímetro molhado. A inclinação dos taludes é de 0,5 H: 1 V e o revestimento será em alvenaria de pedra argamassada em condições regulares. Determine a altura d
Projetar um canal de seção retangular com declividade de fundo I0=0,01 m / m para aduzir uma vazão de 5,0 m^3 / s de água, de modo que a máxima velocidade média seja de 2,0 m / s. Material de revestimento reboco de cimento não muito liso. O escoamento é fluvial ou torrencial?