Então, a gente tem um espaço vetorial e uma operação definida por . O objetivo aqui é mostrar que essa operação é um produto interno. Para fazer isso, vamos precisar entender o que é um produto interno e quais propriedades ele deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um produto interno. Basicamente, um produto interno em um espaço vetorial é uma maneira de multiplicar dois vetores para obter um número real, e ele deve seguir certas regras:
Comutatividade:
Linearidade no primeiro argumento:
Positividade: e se e somente se for o vetor nulo.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a operação dada.
Passo 3
1. Comutatividade
Temos que mostrar que .
Calculando ambos:
Como a multiplicação de números reais é comutativa (, etc.), as duas expressões são iguais. Logo, a comutatividade está satisfeita.
Passo 4
2. Linearidade no primeiro argumento
Vamos mostrar que para quaisquer vetores , e escalares , temos:
Calculando o lado esquerdo:
Expandindo:
Agrupando os termos com e :
Isso é igual a:
Portanto, a linearidade no primeiro argumento está satisfeita.
Passo 5
3. Positividade
Precisamos mostrar que e que se e somente se .
Calculando :
Sabemos que , e são sempre números não negativos. Portanto, a soma também é não negativa, ou seja, .
Além disso, somente se , e . Logo, se e somente se .
Resposta
Portanto, a operação definida por satisfaz todas as propriedades de um produto interno em .