Determine uma base ortogonal em relação ao produto interno usual do subespaço do
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos uma base ortogonal para o subespaço de definido por . Isso envolve conceitos de álgebra linear, como subespaços, bases e produto interno. Para resolver, vamos precisar achar vetores que pertençam a e que sejam ortogonais entre si usando o produto interno usual.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar uma base para o subespaço . A equação nos dá uma relação entre as coordenadas , e . Podemos expressar uma das variáveis em termos das outras duas. Por exemplo, vamos resolver para :
Assim, qualquer vetor em pode ser escrito como . Podemos parametrizar isso usando e como parâmetros livres:
Portanto, uma base para é formada pelos vetores e .
Passo 3
Agora, queremos que essa base seja ortogonal. Para isso, vamos usar o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt. Primeiro, verificamos se os vetores e são ortogonais:
Como o produto interno não é zero, os vetores não são ortogonais. Então, aplicamos o processo de Gram-Schmidt para ortogonalizá-los.
Primeiro, mantemos .
Em seguida, calculamos de forma que seja ortogonal a :
Calculando os produtos internos:
Então,
Passo 4
Agora temos dois vetores ortogonais:
Para finalizar, podemos normalizar esses vetores para que formem uma base ortonormal, se desejado. Mas como o exercício pede apenas uma base ortogonal, já temos nossa resposta.
Resposta
Uma base ortogonal para é formada pelos vetores e .