Determine uma base ortogonal em relação ao produto interno usual do subespaço do R^3
V=(x, y, z) in R^3 mid x-y+z=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos uma base ortogonal para o subespaço de definido por . Isso envolve conceitos de álgebra linear, como subespaços, bases e produto interno. Para resolver, vamos precisar achar vetores que pertençam a e que sejam ortogonais entre si usando o produto interno usual.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar uma base para o subespaço x = y - z . A equação (y - z, y, z) = y(1, 1, 0) + z(-1, 0, 1) nos dá uma relação entre as coordenadas , e . Podemos expressar uma das variáveis em termos das outras duas. Por exemplo, vamos resolver para :
Assim, qualquer vetor em pode ser escrito como . Podemos parametrizar isso usando e como parâmetros livres:
Portanto, uma base para é formada pelos vetores e .

Passo 3

Agora, queremos que essa base seja ortogonal. Para isso, vamos usar o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt. Primeiro, verificamos se os vetores v1 cdot v2 = (1)(-1) + (1)(0) + (0)(1) = -1 + 0 + 0 = -1 neq 0 e u2 = v2 - v2 cdot u1u1 cdot u1 u1 são ortogonais:
v2 cdot u1 = (-1)(1) + (0)(1) + (1)(0) = -1
Como o produto interno não é zero, os vetores não são ortogonais. Então, aplicamos o processo de Gram-Schmidt para ortogonalizá-los.
Primeiro, mantemos u1 cdot u1 = 1^2 + 1^2 + 0^2 = 2 .
Em seguida, calculamos u2 = (-1, 0, 1) - ( -12 )(1, 1, 0) = (-1, 0, 1) + ( 12, 12, 0 ) = ( -12, 12, 1 ) de forma que seja ortogonal a :
Calculando os produtos internos:
Então,

Passo 4

Agora temos dois vetores ortogonais:
u1 = (1, 1, 0) e u2 = ( -12, 12, 1 )
Para finalizar, podemos normalizar esses vetores para que formem uma base ortonormal, se desejado. Mas como o exercício pede apenas uma base ortogonal, já temos nossa resposta.

Resposta

Uma base ortogonal para é formada pelos vetores e .

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