Determine uma base ortogonal em relação ao produto interno usual do subespaço do
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos uma base ortogonal para o subespaço
de
definido por
. Isso envolve conceitos de álgebra linear, como subespaços, bases e produto interno. Para resolver, vamos precisar achar vetores que pertençam a
e que sejam ortogonais entre si usando o produto interno usual.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar uma base para o subespaço
. A equação
nos dá uma relação entre as coordenadas
,
e
. Podemos expressar uma das variáveis em termos das outras duas. Por exemplo, vamos resolver para
:
Assim, qualquer vetor em
pode ser escrito como
. Podemos parametrizar isso usando
e
como parâmetros livres:
Portanto, uma base para
é formada pelos vetores
e
.
Passo 3
Agora, queremos que essa base seja ortogonal. Para isso, vamos usar o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt. Primeiro, verificamos se os vetores
e
são ortogonais:
Como o produto interno não é zero, os vetores não são ortogonais. Então, aplicamos o processo de Gram-Schmidt para ortogonalizá-los.
Primeiro, mantemos
.
Em seguida, calculamos
de forma que seja ortogonal a
:
Calculando os produtos internos:
Então,
Passo 4
Agora temos dois vetores ortogonais:
Para finalizar, podemos normalizar esses vetores para que formem uma base ortonormal, se desejado. Mas como o exercício pede apenas uma base ortogonal, já temos nossa resposta.
Resposta
Uma base ortogonal para
é formada pelos vetores
e
.