Um canal trapezoidal, simétrico, com taludes
, trabalha em regime permanente e uniforme na condição de mínimo perímetro molhado. Mostre que o número de Froude do escoamento é dado por:
Em que
é a declividade de fundo e
o fator de atrito da equação de Darcy-Weisbach.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre canais trapezoidais, que são aqueles com lados inclinados de forma simétrica, com taludes de 1V para 1H. O problema quer a gente mostrar que o número de Froude do escoamento pode ser expresso pela fórmula:
Aqui,
é a declividade do fundo do canal e
é o fator de atrito da equação de Darcy-Weisbach. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de hidráulica como o número de Froude, equação de Darcy-Weisbach e a condição de mínimo perímetro molhado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o número de Froude. Ele é uma grandeza adimensional usada na hidráulica para caracterizar o regime de escoamento, ou seja, se é laminado ou turbulento. A fórmula do número de Froude é:
Onde:
-
é a velocidade do escoamento, -
é a aceleração da gravidade, -
é o diâmetro hidráulico ou uma dimensão característica do canal.
Passo 3
Agora, para um canal trapezoidal, o diâmetro hidráulico
pode ser definido em termos da área da seção transversal
e do perímetro molhado
:
Como o canal está operando em condição de mínimo perímetro molhado, isso significa que estamos aplicando o princípio da otimização para reduzir as perdas por atrito. Então, precisamos encontrar expressões para
e
em termos das dimensões do canal.
Passo 4
Vamos considerar que o canal é simétrico com taludes de 1V:1H, ou seja, para cada 1 unidade de altura, o canal se alarga 1 unidade horizontalmente. Se a largura da base é
e a profundidade do escoamento é
, então a largura na superfície é
. A área da seção transversal fica:
E o perímetro molhado é:
Passo 5
Substituindo
e
na fórmula do diâmetro hidráulico:
Como estamos na condição de mínimo perímetro molhado, podemos derivar essa expressão em relação a
e igualar a derivada a zero para encontrar a relação ótima entre
e
. Mas para simplificar, vamos assumir que o canal está otimizado de forma que
, o que facilita os cálculos.
Passo 6
Com
, a área fica:
E o perímetro molhado:
Então, o diâmetro hidráulico fica:
Passo 7
Agora, vamos usar a equação de Darcy-Weisbach para a perda de carga:
Isolando
:
Passo 8
Substituindo essa expressão de
na fórmula do número de Froude:
Calculando o valor numérico:
Resposta
Portanto, demonstramos que o número de Froude do escoamento é dado por: