Considere um bloco de aço extremamente grande, mantido a uma temperatura inicial de 35^circ C. A superfície deste bloco está exposta a um fluxo de calor.
Qual será a temperatura, a uma profundidade de 2,5 cm, após o tempo de 0,5 minuto para as seguintes situações:
a) Com o aumento repentino da temperatura da superfície para 250^circ C;
Dados:
k=45 W / m ^circ C
alpha=1,4 cdot 10^-5 m^2 / s.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com transferência de calor, especificamente como a temperatura muda dentro de um bloco de aço quando a superfície sofre um aumento brusco de temperatura. Precisamos descobrir qual será a temperatura a 2,5 cm de profundidade depois de meio minuto. Para isso, vamos usar conceitos de condução de calor e algumas fórmulas que descrevem como o calor se propaga no material.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual fórmula aplicar aqui. Como o bloco é bem grande e estamos interessados em como o calor penetra nele após um tempo curto, podemos tratar esse problema como um sólido semi-infinito. Nesse caso, a temperatura em uma certa profundidade x e após um tempo t pode ser calculada usando a seguinte equação:
T(x, t) = T0 + (Ts - T0) cdot erfc(x2raizalpha t)
Aqui:
  • $ T_0 $ é a temperatura inicial do bloco.
  • $ T_s $ é a nova temperatura da superfície.
  • $ \alpha $ é a difusividade térmica do material.
  • $ erfc $ é a função erro complementar.

Passo 3

Vamos identificar os valores que temos e converter tudo para unidades consistentes:
  • $ T_0 = 35^\circ C $
  • $ T_s = 250^\circ C $
  • $ x = 2,5 cm = 0,025 m $
  • $ t = 0,5 minuto = 30 segundos $
  • $ \alpha = 1,4 \times 10^{-5} , m^2/s $
Agora, vamos calcular o termo dentro da função erfc:
T0 = 35^circ C
Calculando o denominador primeiro:
Ts = 250^circ C
Então:
x = 2,5 cm = 0,025 m

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o valor da função erro complementar para 0,610. A função erfc(z) é relacionada à distribuição normal e pode ser encontrada em tabelas ou usando uma calculadora científica. Para $ z = 0,610 $:
z = 0,610

Passo 5

Com esse valor, voltamos à fórmula da temperatura:
T(x, t) = 35 + (250 - 35) times 0,270
T(x, t) = 35 + 215 times 0,270
T(x, t) = 35 + 58,05
T(x, t) approx 93,05^circ C

Resposta

A temperatura a uma profundidade de 2,5 cm após 0,5 minuto é aproximadamente 93,05 °C.

Exercícios relacionados