Considere um bloco de aço extremamente grande, mantido a uma temperatura inicial de
. A superfície deste bloco está exposta a um fluxo de calor.
Qual será a temperatura, a uma profundidade de
, após o tempo de 0,5 minuto para as seguintes situações:
a) Com o aumento repentino da temperatura da superfície para
;
Dados:
.
Qual será a temperatura, a uma profundidade de
a) Com o aumento repentino da temperatura da superfície para
Dados:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com transferência de calor, especificamente como a temperatura muda dentro de um bloco de aço quando a superfície sofre um aumento brusco de temperatura. Precisamos descobrir qual será a temperatura a 2,5 cm de profundidade depois de meio minuto. Para isso, vamos usar conceitos de condução de calor e algumas fórmulas que descrevem como o calor se propaga no material.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual fórmula aplicar aqui. Como o bloco é bem grande e estamos interessados em como o calor penetra nele após um tempo curto, podemos tratar esse problema como um sólido semi-infinito. Nesse caso, a temperatura em uma certa profundidade x e após um tempo t pode ser calculada usando a seguinte equação:
Aqui:
- $ T_0 $ é a temperatura inicial do bloco.
- $ T_s $ é a nova temperatura da superfície.
- $ \alpha $ é a difusividade térmica do material.
- $ erfc $ é a função erro complementar.
Passo 3
Vamos identificar os valores que temos e converter tudo para unidades consistentes:
- $ T_0 = 35^\circ C $
- $ T_s = 250^\circ C $
- $ x = 2,5 cm = 0,025 m $
- $ t = 0,5 minuto = 30 segundos $
- $ \alpha = 1,4 \times 10^{-5} , m^2/s $
Agora, vamos calcular o termo dentro da função erfc:
Calculando o denominador primeiro:
Então:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o valor da função erro complementar para 0,610. A função erfc(z) é relacionada à distribuição normal e pode ser encontrada em tabelas ou usando uma calculadora científica. Para $ z = 0,610 $:
Passo 5
Com esse valor, voltamos à fórmula da temperatura:
Resposta
A temperatura a uma profundidade de 2,5 cm após 0,5 minuto é aproximadamente 93,05 °C.