Um canhão dispara um projétil com uma velocidade inicial de
e um ângulo de
com a horizontal. No ponto mais alto da trajetória, o projétil explode em dois fragmentos de massas iguais. Um fragmento, cuja a velocidade imediatamente após a colisão é zero, cai verticalmente. A que distância do canhão cai o outro fragmento, supondo que o terreno é plano e que a resistência do ar pode ser desprezada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema envolve um projétil lançado por um canhão com uma velocidade inicial de
formando um ângulo de
com a horizontal. No ponto mais alto da trajetória, o projétil explode em dois fragmentos de massas iguais. Um dos fragmentos para e cai verticalmente, e a gente precisa descobrir a que distância do canhão o outro fragmento vai cair. Vamos usar conceitos de movimento de projéteis e lei da conservação da quantidade de movimento para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as componentes horizontal e vertical da velocidade inicial. Quando um projétil é lançado com velocidade
e ângulo
, as componentes são dadas por:
Aqui,
é a velocidade na direção horizontal e
na vertical.
Para
e
:
Passo 3
No ponto mais alto da trajetória, a velocidade vertical é zero (
), e apenas a componente horizontal da velocidade (
) permanece constante, já que a resistência do ar está desprezada. Então, a velocidade no ponto mais alto é
.
Passo 4
Na explosão, o projétil se divide em dois fragmentos de massas iguais. Segundo a lei da conservação da quantidade de movimento, a quantidade de movimento antes da explosão é igual à soma das quantidades de movimento após a explosão.
Antes da explosão, a quantidade de movimento total é:
Após a explosão, temos dois fragmentos de massa
cada. Um fragmento fica parado (
), e o outro fragmento tem velocidade
.
Aplicando a conservação:
Simplificando:
Passo 5
Agora, precisamos determinar quanto tempo o fragmento em movimento
leva para atingir o solo. Para isso, vamos considerar o movimento vertical desde o ponto da explosão até a queda.
No ponto mais alto, a altura máxima
alcançada pelo projétil é dada por:
Onde
.
Calculando:
O tempo para cair dessa altura é obtido pela equação:
Passo 6
Com o tempo que o fragmento leva para cair
e a velocidade horizontal
, podemos calcular a distância horizontal que o fragmento percorre:
Resposta
O outro fragmento cai a aproximadamente 79,5 metros do canhão.