Um canhão dispara um projétil com uma velocidade inicial de V0=30 m / s e um ângulo de 30^circ com a horizontal. No ponto mais alto da trajetória, o projétil explode em dois fragmentos de massas iguais. Um fragmento, cuja a velocidade imediatamente após a colisão é zero, cai verticalmente. A que distância do canhão cai o outro fragmento, supondo que o terreno é plano e que a resistência do ar pode ser desprezada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema envolve um projétil lançado por um canhão com uma velocidade inicial de formando um ângulo de com a horizontal. No ponto mais alto da trajetória, o projétil explode em dois fragmentos de massas iguais. Um dos fragmentos para e cai verticalmente, e a gente precisa descobrir a que distância do canhão o outro fragmento vai cair. Vamos usar conceitos de movimento de projéteis e lei da conservação da quantidade de movimento para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as componentes horizontal e vertical da velocidade inicial. Quando um projétil é lançado com velocidade V0x = V0 cos(theta) e ângulo V0y = V0 sin(theta) , as componentes são dadas por:
V0x = 30 cos(30^circ) = 30 times raiz32 approx 25.98 , m/s
V0y = 30 sin(30^circ) = 30 times 12 = 15 , m/s
Aqui, é a velocidade na direção horizontal e na vertical.
Para e :

Passo 3

No ponto mais alto da trajetória, a velocidade vertical é zero ( ), e apenas a componente horizontal da velocidade ( ) permanece constante, já que a resistência do ar está desprezada. Então, a velocidade no ponto mais alto é .

Passo 4

Na explosão, o projétil se divide em dois fragmentos de massas iguais. Segundo a lei da conservação da quantidade de movimento, a quantidade de movimento antes da explosão é igual à soma das quantidades de movimento após a explosão.
Antes da explosão, a quantidade de movimento total é:
ptotal = m times Vx
Após a explosão, temos dois fragmentos de massa m times Vx = m2 times 0 + m2 times V'2 cada. Um fragmento fica parado ( m Vx = m2 V'2 ), e o outro fragmento tem velocidade V'2 = 2 Vx approx 2 times 25.98 , m/s approx 51.96 , m/s .
Aplicando a conservação:
Simplificando:

Passo 5

Agora, precisamos determinar quanto tempo o fragmento em movimento h = (V0y)^22 g leva para atingir o solo. Para isso, vamos considerar o movimento vertical desde o ponto da explosão até a queda.
No ponto mais alto, a altura máxima h = 15^22 times 9.8 = 22519.6 approx 11.48 , m alcançada pelo projétil é dada por:
h = 12 g t^2
Onde t = raiz2 hg = raiz2 times 11.489.8 approx raiz22.969.8 approx raiz2.34 approx 1.53 , s .
Calculando:
O tempo para cair dessa altura é obtido pela equação:

Passo 6

Com o tempo que o fragmento leva para cair d = V'2x times t approx 51.96 , m/s times 1.53 , s approx 79.49 , m e a velocidade horizontal , podemos calcular a distância horizontal que o fragmento percorre:

Resposta

O outro fragmento cai a aproximadamente 79,5 metros do canhão.

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