Canhotos
Em uma amostra de mil pessoas ( 500 homens e 500 mulheres), 113 eram canhotas ( 63 homens e 50 mulheres). Os resultados da amostra aparecem na tabela. Duas pessoas da amostra não relacionadas são selecionadas ao acaso. Obtenha as probabilidades a seguir.
Gênero | ||||
---|---|---|---|---|
Homens | Mulheres | Total | ||
Mão <br> dominante | Esquerda | 63 | 50 | 113 |
Direita | 437 | 450 | 887 | |
Total | 500 | 500 | 1000 |
(a) Ambas as pessoas são homens canhotos.
(b) Ambas as pessoas são mulheres canhotas
© Pelo menos uma das pessoas é canhota.
(d) A primeira pessoa é um homem canhoto e a segunda é uma mulher canhota.
(e) Uma é um homem canhoto e a outra, uma mulher canhota.
(b) Ambas as pessoas são mulheres canhotas
© Pelo menos uma das pessoas é canhota.
(d) A primeira pessoa é um homem canhoto e a segunda é uma mulher canhota.
(e) Uma é um homem canhoto e a outra, uma mulher canhota.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um problema de probabilidade envolvendo uma amostra de 1000 pessoas, divididas igualmente entre homens e mulheres. Dentre essas, 113 são canhotos (63 homens e 50 mulheres). A gente vai usar conceitos básicos de probabilidade e combinatória para resolver as perguntas de (a) a (e).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o total de maneiras de selecionar duas pessoas de 1000. Isso é calculado usando combinações, que é uma forma de contar quantas maneiras diferentes podemos escolher um grupo sem se importar com a ordem. A fórmula das combinações é:
Onde
é o total de itens e
é o número de itens a serem escolhidos.
Passo 3
Agora, vamos para a parte (a): a probabilidade de ambas as pessoas serem homens canhotos. Temos 63 homens canhotos, então vamos calcular quantas maneiras podemos escolher 2 homens canhotos desses 63 e dividir pelo total de combinações possíveis de 2 pessoas entre 1000.
Número de maneiras de escolher 2 homens canhotos:
Número total de maneiras de escolher 2 pessoas:
A probabilidade é então:
Passo 4
Parte (b): a probabilidade de ambas as pessoas serem mulheres canhotas. Temos 50 mulheres canhotas.
Número de maneiras de escolher 2 mulheres canhotas:
A probabilidade é:
Passo 5
Parte ©: a probabilidade de pelo menos uma das pessoas ser canhota. É mais fácil calcular o complemento, ou seja, a probabilidade de nenhuma das pessoas ser canhota, e subtrair de 1.
Número de pessoas destros: 1000 - 113 = 887
Número de maneiras de escolher 2 destros:
Probabilidade de ambas serem destras:
Então, a probabilidade de pelo menos uma ser canhota é:
Passo 6
Parte (d): a probabilidade de a primeira pessoa ser um homem canhoto e a segunda ser uma mulher canhota. Como estamos considerando a ordem, multiplicamos as probabilidades sequenciais.
Probabilidade de escolher um homem canhoto primeiro:
Depois, com 999 pessoas restantes, a probabilidade de escolher uma mulher canhota:
Então:
Passo 7
Parte (e): a probabilidade de uma ser um homem canhoto e a outra uma mulher canhota, sem considerar a ordem. Ou seja, pode ser homem primeiro e mulher depois, ou mulher primeiro e homem depois.
Calculamos as duas possibilidades:
- Homem canhoto primeiro e mulher canhota depois:
- Mulher canhota primeiro e homem canhoto depois:
Somando as duas:
Resposta
(a) A probabilidade é aproximadamente 0,391%.
(b) A probabilidade é aproximadamente 0,245%.
© A probabilidade é 21,3%.
(d) A probabilidade é aproximadamente 0,315%.
(e) A probabilidade é aproximadamente 0,63%.
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(a) Obtenha a probabilidade de as duas lâmpadas fracassarem no teste.
(b) Obtenha a probabilidade de as duas passarem no teste.
© Obtenha a probabilidade de pelo menos uma fracassar no teste.
(a) Obtenha a probabilidade de as duas lâmpadas fracassarem no teste.
(b) Obtenha a probabilidade de as duas passarem no teste.
© Obtenha a probabilidade de pelo menos uma fracassar no teste.
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(b) Qual a probabilidade do erro de tipo I? E do erro de tipo II?