Canhotos diamond Em uma amostra de mil pessoas ( 500 homens e 500 mulheres), 113 eram canhotas ( 63 homens e 50 mulheres). Os resultados da amostra aparecem na tabela. Duas pessoas da amostra não relacionadas são selecionadas ao acaso. Obtenha as probabilidades a seguir.
Gênero
Homens Mulheres Total
Mão <br> dominante Esquerda 63 50 113
Direita 437 450 887
Total 500 500 1000
(a) Ambas as pessoas são homens canhotos.
(b) Ambas as pessoas são mulheres canhotas
© Pelo menos uma das pessoas é canhota.
(d) A primeira pessoa é um homem canhoto e a segunda é uma mulher canhota.
(e) Uma é um homem canhoto e a outra, uma mulher canhota.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema de probabilidade envolvendo uma amostra de 1000 pessoas, divididas igualmente entre homens e mulheres. Dentre essas, 113 são canhotos (63 homens e 50 mulheres). A gente vai usar conceitos básicos de probabilidade e combinatória para resolver as perguntas de (a) a (e).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o total de maneiras de selecionar duas pessoas de 1000. Isso é calculado usando combinações, que é uma forma de contar quantas maneiras diferentes podemos escolher um grupo sem se importar com a ordem. A fórmula das combinações é:
C(n, k) = n!k!(n - k)!
Onde é o total de itens e é o número de itens a serem escolhidos.

Passo 3

Agora, vamos para a parte (a): a probabilidade de ambas as pessoas serem homens canhotos. Temos 63 homens canhotos, então vamos calcular quantas maneiras podemos escolher 2 homens canhotos desses 63 e dividir pelo total de combinações possíveis de 2 pessoas entre 1000.
Número de maneiras de escolher 2 homens canhotos:
C(63, 2) = 63 times 622 = 1953
Número total de maneiras de escolher 2 pessoas:
C(1000, 2) = 1000 times 9992 = 499500
A probabilidade é então:
P(a) = 1953499500 approx 0,00391 ou 0,391%

Passo 4

Parte (b): a probabilidade de ambas as pessoas serem mulheres canhotas. Temos 50 mulheres canhotas.
Número de maneiras de escolher 2 mulheres canhotas:
C(50, 2) = 50 times 492 = 1225
A probabilidade é:
P(b) = 1225499500 approx 0,00245 ou 0,245%

Passo 5

Parte ©: a probabilidade de pelo menos uma das pessoas ser canhota. É mais fácil calcular o complemento, ou seja, a probabilidade de nenhuma das pessoas ser canhota, e subtrair de 1.
Número de pessoas destros: 1000 - 113 = 887
Número de maneiras de escolher 2 destros:
C(887, 2) = 887 times 8862 = 392,581
Probabilidade de ambas serem destras:
392,581499,500 approx 0,787 ou 78,7%
Então, a probabilidade de pelo menos uma ser canhota é:
P(c) = 1 - 0,787 = 0,213 ou 21,3%

Passo 6

Parte (d): a probabilidade de a primeira pessoa ser um homem canhoto e a segunda ser uma mulher canhota. Como estamos considerando a ordem, multiplicamos as probabilidades sequenciais.
Probabilidade de escolher um homem canhoto primeiro:
631000
Depois, com 999 pessoas restantes, a probabilidade de escolher uma mulher canhota:
50999
Então:
P(d) = 631000 times 50999 approx 0,00315 ou 0,315%

Passo 7

Parte (e): a probabilidade de uma ser um homem canhoto e a outra uma mulher canhota, sem considerar a ordem. Ou seja, pode ser homem primeiro e mulher depois, ou mulher primeiro e homem depois.
Calculamos as duas possibilidades:
  1. Homem canhoto primeiro e mulher canhota depois:
631000 times 50999
  1. Mulher canhota primeiro e homem canhoto depois:
501000 times 63999
Somando as duas:
P(e) = 2 times 63 times 501000 times 999 approx 0,0063 ou 0,63%

Resposta

(a) A probabilidade é aproximadamente 0,391%.
(b) A probabilidade é aproximadamente 0,245%.
© A probabilidade é 21,3%.
(d) A probabilidade é aproximadamente 0,315%.
(e) A probabilidade é aproximadamente 0,63%.

Exercícios relacionados