Lâmpadas
Doze lâmpadas são testadas para ver se duram tanto quanto afirma o fabricante. Três não passam no teste. Duas são selecionadas ao acaso, sem reposição.
(a) Obtenha a probabilidade de as duas lâmpadas fracassarem no teste.
(b) Obtenha a probabilidade de as duas passarem no teste.
© Obtenha a probabilidade de pelo menos uma fracassar no teste.
(a) Obtenha a probabilidade de as duas lâmpadas fracassarem no teste.
(b) Obtenha a probabilidade de as duas passarem no teste.
© Obtenha a probabilidade de pelo menos uma fracassar no teste.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que está acontecendo aqui. Temos um total de 12 lâmpadas, das quais 3 não passam no teste. Vamos tirar 2 lâmpadas aleatoriamente, sem colocar de volta. Precisamos calcular três probabilidades diferentes usando conceitos básicos de probabilidade e combinatória.
Passo 2
(a) Probabilidade de as duas lâmpadas não passarem no teste.
Primeiro, vamos entender quantas maneiras temos de escolher 2 lâmpadas que não passam no teste. Como temos 3 lâmpadas que não passam, usamos a combinação para escolher 2 delas:
Agora, vamos ver quantas maneiras podemos escolher qualquer 2 lâmpadas das 12 disponíveis:
A probabilidade é a razão entre as maneiras favoráveis e o total de maneiras possíveis:
Passo 3
(b) Probabilidade de as duas lâmpadas passarem no teste.
Agora, queremos que as duas lâmpadas selecionadas sejam que passam no teste. Como temos 9 lâmpadas que passam (12 totais menos 3 que falham), calculamos:
Usamos o mesmo total de maneiras possíveis para escolher 2 lâmpadas:
Passo 4
© Probabilidade de pelo menos uma lâmpada fracassar no teste.
“Pelo menos uma” significa que pode ser uma ou duas lâmpadas que fracassem. Para facilitar o cálculo, podemos usar o complemento: calcular a probabilidade de nenhuma falhar (ou seja, ambas passarem) e subtrair de 1.
Já calculamos que a probabilidade de ambas passarem é
. Então:
Resposta
(a) A probabilidade de as duas lâmpadas fracassarem no teste é
ou aproximadamente
.
(b) A probabilidade de as duas lâmpadas passarem no teste é
ou aproximadamente
.
© A probabilidade de pelo menos uma lâmpada fracassar no teste é
ou aproximadamente
.