Lâmpadas cdot Doze lâmpadas são testadas para ver se duram tanto quanto afirma o fabricante. Três não passam no teste. Duas são selecionadas ao acaso, sem reposição.
(a) Obtenha a probabilidade de as duas lâmpadas fracassarem no teste.
(b) Obtenha a probabilidade de as duas passarem no teste.
© Obtenha a probabilidade de pelo menos uma fracassar no teste.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que está acontecendo aqui. Temos um total de 12 lâmpadas, das quais 3 não passam no teste. Vamos tirar 2 lâmpadas aleatoriamente, sem colocar de volta. Precisamos calcular três probabilidades diferentes usando conceitos básicos de probabilidade e combinatória.

Passo 2

(a) Probabilidade de as duas lâmpadas não passarem no teste.
Primeiro, vamos entender quantas maneiras temos de escolher 2 lâmpadas que não passam no teste. Como temos 3 lâmpadas que não passam, usamos a combinação para escolher 2 delas:
Número de maneiras de escolher 2 falhas = binom32 = 3!2!(3-2)! = 3 ú
Agora, vamos ver quantas maneiras podemos escolher qualquer 2 lâmpadas das 12 disponíveis:
Número total de maneiras = binom122 = 12!2!(12-2)! = 66 ú
A probabilidade é a razão entre as maneiras favoráveis e o total de maneiras possíveis:
P(duas falhas) = 366 = 122 approx 0,0455 ou 4,55%

Passo 3

(b) Probabilidade de as duas lâmpadas passarem no teste.
Agora, queremos que as duas lâmpadas selecionadas sejam que passam no teste. Como temos 9 lâmpadas que passam (12 totais menos 3 que falham), calculamos:
Número de maneiras de escolher 2 que passam = binom92 = 9!2!(9-2)! = 36 ú
Usamos o mesmo total de maneiras possíveis para escolher 2 lâmpadas:
P(duas passam) = 3666 = 611 approx 0,5455 ou 54,55%

Passo 4

© Probabilidade de pelo menos uma lâmpada fracassar no teste.
Pelo menos uma” significa que pode ser uma ou duas lâmpadas que fracassem. Para facilitar o cálculo, podemos usar o complemento: calcular a probabilidade de nenhuma falhar (ou seja, ambas passarem) e subtrair de 1.
Já calculamos que a probabilidade de ambas passarem é 611. Então:
P(pelo menos uma falha) = 1 - P(duas passam) = 1 - 611 = 511 approx 0,4545 ou 45,45%

Resposta

(a) A probabilidade de as duas lâmpadas fracassarem no teste é 122 ou aproximadamente 4,55%.
(b) A probabilidade de as duas lâmpadas passarem no teste é 611 ou aproximadamente 54,55%.
© A probabilidade de pelo menos uma lâmpada fracassar no teste é 511 ou aproximadamente 45,45%.

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