Consertos
De quantas maneiras possíveis podem ser consertados três computadores e duas impressoras se (a) não houver restrições, (b) as impressoras forem consertadas em primeiro lugar e © os computadores forem consertados primeiro? (d) Se a ordem dos consertos não tiver restrição e ela for aleatória, qual será a probabilidade de uma impressora ser consertada em primeiro lugar?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três computadores e duas impressoras que precisam ser consertados. Precisamos descobrir de quantas maneiras diferentes podemos organizar esses consertos em diferentes situações:
a) Sem nenhuma restrição.
Vamos precisar usar princípios de combinatória, especificamente arranjos com repetição, já que estamos lidando com diferentes tipos de equipamentos.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte (a): sem nenhuma restrição.
Temos um total de 5 itens para consertar (3 computadores e 2 impressoras). Queremos saber de quantas maneiras podemos ordenar esses 5 itens.
Como os computadores e as impressoras são do mesmo tipo respectivamente, vamos considerar que os computadores são indistinguíveis entre si e as impressoras também são indistinguíveis.
A fórmula para calcular isso é:
Onde:
-
é o fatorial de 5 (total de itens), -
é o fatorial de 3 (computadores), -
é o fatorial de 2 (impressoras).
Passo 3
Calculando:
Então:
Passo 4
Agora, a parte (b): as impressoras serem consertadas em primeiro lugar.
Aqui, queremos que as duas impressoras sejam as primeiras no cronograma. Já que as impressoras são indistinguíveis, a ordem delas não muda o total de maneiras.
Depois de consertar as impressoras, temos que consertar os três computadores, que também são indistinguíveis.
Então, a única ordem possível é:
Passo 5
Portanto, existe apenas 1 maneira de organizar os consertos com as impressoras sendo consertadas primeiro.
Passo 6
Passando para a parte ©: os computadores serem consertados primeiro.
Aqui, queremos que os três computadores sejam consertados antes das duas impressoras.
Similarmente à parte (b), como os computadores e as impressoras são indistinguíveis dentro do próprio grupo, a única ordem possível é:
Passo 7
Assim, existe também apenas 1 maneira de organizar os consertos com os computadores sendo consertados primeiro.
Passo 8
Finalmente, a parte (d): probabilidade de uma impressora ser consertada em primeiro lugar, sem restrições na ordem dos consertos.
Primeiro, sabemos que o total de maneiras possíveis sem restrições é 10 (da parte a).
Agora, queremos saber quantas dessas maneiras começam com uma impressora.
Se a primeira posição for uma impressora §, restam 4 posições para organizar os outros itens: 2 impressoras e 3 computadores.
A quantidade de maneiras de organizar essas 4 posições é:
Passo 9
Então, há 4 maneiras em que uma impressora é consertada primeiro.
A probabilidade é o número de maneiras favoráveis dividido pelo número total de maneiras:
Resposta
(a) 10 maneiras;
(b) 1 maneira;
© 1 maneira;
(d) A probabilidade é de 40 %.
(b) 1 maneira;
© 1 maneira;
(d) A probabilidade é de 40 %.