Cap. 02 - Questão 20 - A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo x é dada por x=12 t^2-2 t^3, onde x está em metros e t em segundos. Determine (a) a posição, (b) a velocidade e © a aceleração da partícula em t=3,0 s. (d) Qual é a coordenada positiva máxima alcançada pela partícula e (e) em que instante de tempo ela é alcançada? (f) Qual é a velocidade positiva máxima alcançada pela partícula e (g) em que instante de tempo ela é alcançada? (h) Qual é a aceleração da partícula no instante em que a partícula não está se movendo (além do instante t=0 s )? (i) Determine a velocidade média da partícula entre t=0 s e t=3,0 s. (j) Trace o gráfico de x em função do t e mostre como calcular a velocidade média a partir do gráfico. (k) Faça os gráficos de v e a em função de t, classifique o tipo de movimento descrito pela partícula (MU, MUV ou MV).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que trata do movimento de uma partícula ao longo do eixo . A posição da partícula é dada pela equação , onde está em metros e em segundos. Vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas, para encontrar a velocidade e a aceleração, além de analisar máximos e médias de velocidade. Vamos resolver cada parte passo a passo!

Passo 2

(a) Determinar a posição da partícula em x = 12 (3)^2 - 2 (3)^3 = 12 times 9 - 2 times 27 = 108 - 54 = 54 metros s.
Para encontrar a posição nesse instante, vamos substituir na equação da posição:

Passo 3

(b) Determinar a velocidade da partícula em v(t) = ddt(12 t^2 - 2 t^3) = 24 t - 6 t^2 s.
A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Vamos calcular v(3) = 24 times 3 - 6 times 9 = 72 - 54 = 18 m/s :
Agora, substituímos :

Passo 4

© Determinar a aceleração da partícula em a(t) = ddt(24 t - 6 t^2) = 24 - 12 t s.
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Vamos calcular a(3) = 24 - 12 times 3 = 24 - 36 = -12 m/s^2 :
Substituindo :

Passo 5

(d) Qual é a coordenada positiva máxima alcançada pela partícula?
Para encontrar a posição máxima, precisamos achar quando a velocidade é zero, pois nesse ponto a partícula para momentaneamente.
v(t) = 24 t - 6 t^2 = 0 6 t (4 - t) = 0 t = 0 s ou t = 4 s
Agora, calculamos a posição em x(4) = 12 (4)^2 - 2 (4)^3 = 12 times 16 - 2 times 64 = 192 - 128 = 64 metros s:

Passo 6

(e) Em que instante de tempo a coordenada positiva máxima é alcançada?
Conforme calculado no passo anterior, a máxima posição de 64 metros ocorre em segundos.

Passo 7

(f) Qual é a velocidade positiva máxima alcançada pela partícula?
Para encontrar a velocidade máxima, precisamos achar quando a aceleração é zero, pois nesse ponto a velocidade atinge seu pico.
a(t) = 24 - 12 t = 0 12 t = 24 t = 2 s
Agora, calculamos a velocidade em v(2) = 24 times 2 - 6 times 4 = 48 - 24 = 24 m/s s:

Passo 8

(g) Em que instante de tempo a velocidade positiva máxima é alcançada?
A velocidade máxima de 24 m/s ocorre em segundos.

Passo 9

(h) Qual é a aceleração da partícula no instante em que a partícula não está se movendo (além de a(4) = 24 - 12 times 4 = 24 - 48 = -24 m/s^2 s)?
A partícula não está se movendo quando a velocidade é zero. Já vimos que isso ocorre em s e s. Já que queremos além de :
Calculamos a aceleração em s:

Passo 10

(i) Determinar a velocidade média da partícula entre vmédia = De s e vmédia = 543 = 18 m/s s.
A velocidade média é dada pela fórmula:
é
Calculamos metros, e segundos.
é

Resposta

A posição da partícula em s é 54 metros, a velocidade é 18 m/s, a aceleração é -12 m/s², a coordenada máxima é 64 metros alcançada em 4 segundos, a velocidade máxima é 24 m/s alcançada em 2 segundos, a aceleração quando a partícula n��o está se movendo além de s é -24 m/s², e a velocidade média entre 0 e 3 segundos é 18 m/s.

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