(A cap B) cup A=A

Passo 1

Então, a gente tem essa expressão aqui: (A cap B) cup A = A. O que vamos fazer é mostrar que, quando você pega a interseção entre os conjuntos A e B, e depois une isso com o próprio A, o resultado é apenas A. Vamos precisar entender bem as operações de interseção ( cap) e união ( cup) de conjuntos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa interseção e união de conjuntos. A interseção de A e B, escrita como A cap B, é o conjunto de elementos que estão tanto em A quanto em B. Já a união de A com outro conjunto, por exemplo A cup C, é o conjunto que contém todos os elementos que estão em A, em C, ou em ambos.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a expressão (A cap B) cup A. Aqui, a gente está unindo a interseção de A e B com o próprio A. Mas pensa assim: todo elemento que está na interseção A cap B já está em A, porque só pega o que está em A e também em B. Então, quando a gente junta isso com A, na verdade, não adiciona nada novo, porque já estava tudo dentro de A.

Passo 4

Vamos formalizar isso. Seja x um elemento qualquer. Se x está em (A cap B) cup A, então ou x está em A cap B ou em A. Mas se x está em A cap B, então ele já está em A. Então, em qualquer caso, x está em A. Isso mostra que (A cap B) cup A está contido em A.

Passo 5

Por outro lado, se x está em A, obviamente ele está em (A cap B) cup A, porque A faz parte da união. Assim, A está contido em (A cap B) cup A.

Passo 6

Como mostramos que (A cap B) cup A está dentro de A e que A está dentro de (A cap B) cup A, concluímos que os dois conjuntos são iguais.

Resposta

Portanto, (A cap B) cup A = A.

Exercícios relacionados