A cap(sim A cup B)=A cap B

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a expressão e precisamos mostrar que ela é igual a . Aqui, estamos trabalhando com operações de conjuntos: interseção ( ), união ( ) e negação ( ). Para resolver isso, vamos usar algumas propriedades básicas de conjuntos, como a distributiva e a lei de De Morgan.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a propriedade distributiva da interseção sobre a união. Isso significa que A cap (sim A cup B) = (A cap sim A) cup (A cap B) pode ser distribuído como . Então:

Passo 3

Agora, vamos analisar cada parte dessa expressão. A primeira parte é A cap sim A = varnothing . Isso representa a interseção de um conjunto com o seu complemento. E aí vai uma sacada importante: sempre é o conjunto vazio, porque nada pode estar ao mesmo tempo em e fora de .

Passo 4

Substituindo isso de volta na expressão, ficamos com:
varnothing cup (A cap B)
Agora, lembrando que a união com o conjunto vazio não muda nada, ou seja, qualquer conjunto unido com o vazio é ele mesmo. Então:
varnothing cup (A cap B) = A cap B

Resposta

Portanto, mostramos que .

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