(Cap4, Problema 11)A posição r de uma partícula que se move em um plano xy é dada por r=(2 t^3-5 t) imath+(6-7 t^4) jmath, com r em metros e t em segundos. Na notação de vetores unitários, calcule (a) r, (b) v e © a para t=2,00 s. (d) Qual é o ângulo entre o semieixo positivo x e uma reta tangente à trajetória da partícula em t=2,00 s ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá a posição de uma partícula que se move no plano xy, representada pelo vetor posição . Precisamos calcular:
a) O vetor posição no tempo s.
b) A velocidade nesse instante.
c) A aceleração nesse mesmo instante.
d) O ângulo entre o eixo x positivo e a reta tangente à trajetória da partícula em s.
Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas para encontrar velocidade e aceleração, e trigonometria para o ângulo.

Passo 2

Vamos começar com a parte a), que pede para calcular o vetor posição r = (2t^3 - 5t) imath + (6 - 7t^4) jmath em r = (2(2)^3 - 5(2)) imath + (6 - 7(2)^4) jmath s.
A posição é dada por:
2(8) - 10 = 16 - 10 = 6 (componente x)
Substituindo 6 - 7(16) = 6 - 112 = -106 (componente y) s:
Calculando:

Passo 3

Agora, vamos para a parte b), que é calcular a velocidade v = drdt = (ddt(2t^3 - 5t)) imath + (ddt(6 - 7t^4)) jmath .
A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
ddt(2t^3 - 5t) = 6t^2 - 5
Calculando as derivadas:
ddt(6 - 7t^4) = -28t^3
vx = 6(2)^2 - 5 = 6(4) - 5 = 24 - 5 = 19 , m/s
Substituindo vy = -28(2)^3 = -28(8) = -224 , m/s s:
v = 19 imath - 224 jmath , m/s
Portanto:

Passo 4

Vamos para a parte c), que é calcular a aceleração a = dvdt = d^2 rdt^2 = (ddt(6t^2 - 5)) imath + (ddt(-28t^3)) jmath .
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou a segunda derivada da posição:
ddt(6t^2 - 5) = 12t
Calculando as derivadas:
ddt(-28t^3) = -84t^2
ax = 12(2) = 24 , m/s^2
Substituindo ay = -84(2)^2 = -84(4) = -336 , m/s^2 s:
a = 24 imath - 336 jmath , m/s^2
Portanto:

Passo 5

Por fim, vamos para a parte d), que pede o ângulo entre o semieixo positivo x e a reta tangente à trajetória da partícula em tan(theta) = vyvx = -22419 s.
A reta tangente à trajetória tem a mesma direção da velocidade nesse instante. Então, o ângulo theta = tan^-1(-22419) pode ser encontrado usando as componentes da velocidade:
theta approx tan^-1(-11.789) approx -85^circ
Calculando:
theta approx 85^circ , abaixo do eixo x
Usando uma calculadora:
Como queremos o ângulo em relação ao semieixo positivo x, consideramos o valor positivo:

Resposta

a) metros
b) m/s
c) m/s²
d) O ângulo entre o semieixo positivo x e a reta tangente à trajetória é aproximadamente abaixo do eixo x.

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