(Cap4, Problema 11)A posição de uma partícula que se move em um plano xy é dada por , com r em metros e em segundos. Na notação de vetores unitários, calcule (a) , (b) e © para . (d) Qual é o ângulo entre o semieixo positivo x e uma reta tangente à trajetória da partícula em ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá a posição de uma partícula que se move no plano xy, representada pelo vetor posição . Precisamos calcular:
a) O vetor posição no tempo s.
b) A velocidade nesse instante.
c) A aceleração nesse mesmo instante.
d) O ângulo entre o eixo x positivo e a reta tangente à trajetória da partícula em s.
Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas para encontrar velocidade e aceleração, e trigonometria para o ângulo.

Passo 2

Vamos começar com a parte a), que pede para calcular o vetor posição em s.
A posição é dada por:
Substituindo s:
Calculando:

Passo 3

Agora, vamos para a parte b), que é calcular a velocidade .
A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
Calculando as derivadas:
Substituindo s:
Portanto:

Passo 4

Vamos para a parte c), que é calcular a aceleração .
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou a segunda derivada da posição:
Calculando as derivadas:
Substituindo s:
Portanto:

Passo 5

Por fim, vamos para a parte d), que pede o ângulo entre o semieixo positivo x e a reta tangente à trajetória da partícula em s.
A reta tangente à trajetória tem a mesma direção da velocidade nesse instante. Então, o ângulo pode ser encontrado usando as componentes da velocidade:
Calculando:
Usando uma calculadora:
Como queremos o ângulo em relação ao semieixo positivo x, consideramos o valor positivo:

Resposta

a) metros
b) m/s
c) m/s²
d) O ângulo entre o semieixo positivo x e a reta tangente à trajetória é aproximadamente abaixo do eixo x.

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