(Cap4, Problema 11)A posição
de uma partícula que se move em um plano xy é dada por
, com r em metros e
em segundos. Na notação de vetores unitários, calcule (a)
, (b)
e ©
para
. (d) Qual é o ângulo entre o semieixo positivo x e uma reta tangente à trajetória da partícula em
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá a posição de uma partícula que se move no plano xy, representada pelo vetor posição
. Precisamos calcular:
a) O vetor posição
no tempo
s.
b) A velocidade
nesse instante.
c) A aceleração
nesse mesmo instante.
d) O ângulo entre o eixo x positivo e a reta tangente à trajetória da partícula em
s.
Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas para encontrar velocidade e aceleração, e trigonometria para o ângulo.
Passo 2
Vamos começar com a parte a), que pede para calcular o vetor posição
em
s.
A posição é dada por:
Substituindo
s:
Calculando:
Passo 3
Agora, vamos para a parte b), que é calcular a velocidade
.
A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
Calculando as derivadas:
Substituindo
s:
Portanto:
Passo 4
Vamos para a parte c), que é calcular a aceleração
.
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou a segunda derivada da posição:
Calculando as derivadas:
Substituindo
s:
Portanto:
Passo 5
Por fim, vamos para a parte d), que pede o ângulo entre o semieixo positivo x e a reta tangente à trajetória da partícula em
s.
A reta tangente à trajetória tem a mesma direção da velocidade nesse instante. Então, o ângulo
pode ser encontrado usando as componentes da velocidade:
Calculando:
Usando uma calculadora:
Como queremos o ângulo em relação ao semieixo positivo x, consideramos o valor positivo:
Resposta
a)
metros
b)
m/s
c)
m/s²
d) O ângulo entre o semieixo positivo x e a reta tangente à trajetória é aproximadamente
abaixo do eixo x.
Exercícios relacionados
Uma peça de uma máquina se move em um eixo conforme a função:
Onde x é a posição em metros, e
é o tempo, em segundos.
Determine as funções da velocidade e da aceleração
.
Determine as funções da velocidade
Faça as conversões de unidades: 5 mm (índice pluviométrico) para Litros
A tábua uniforme da Figura 18.6 tem uma massa de
a caixa sobre ela tem uma massa de
. Determine as forças que os suportes
e
exercem sobre a tábua se
m .
Figura 18.6
Figura 18.6
Na Figura 18.7 as massas da tábua e da caixa, assim como os valores de
e
, são os mesmos da atividade anterior.
, determine as forças que os suportes
e
exercem sobre a tábua.
Figura 18.7
Figura 18.7