A capacidade de um processo está associada à habilidade desse processo em fabricar produtos de acordo com as especificações definidas no projeto. Suponha, então, que no processamento de uma peça (por exemplo, a tampa de uma lata de leite), a variável de interesse, diâmetro da tampa da lata, foi projetada para atender a especificação de [LIE=8 ; LSE=12] cm. Durante a inspeção, caso a diâmetro esteja além do limite superior de especificação, a tampa será retrabalhada; caso o diâmetro esteja abaixo do limite inferior de especificação, a tampa será refugada; estando dentro dos limites de especificação a tampa será aprovada. Considerando que o diâmetro da tampa seja normalmente distribuído com média 11 cm e desvio-padrão 0,5 cm :
a) Determine a probabilidade da tampa ser refugada e a probabilidade dela ser retrabalhada
b) Determine o menor diâmetro corresponde às 5 % maiores tampas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai trabalhar com distribuição normal, que é uma forma de entender como os dados se distribuem em torno da média. No caso, estamos falando do diâmetro das tampas de latas de leite. Vamos precisar usar a média ( mu), o desvio padrão ( sigma) e a tabela da distribuição normal ou uma calculadora para encontrar as probabilidades.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a primeira parte do exercício está pedindo. Queremos saber a probabilidade de uma tampa ser refugada (quando o diâmetro é menor que 8 cm) e a probabilidade de ser retrabalhada (quando o diâmetro é maior que 12 cm).

Passo 3

Para isso, vamos usar a fórmula do z-score, que transforma o valor que queremos em um valor padrão que podemos comparar com a tabela da distribuição normal. A fórmula é:
z = X - musigma
Onde:
  • X é o valor do diâmetro que estamos analisando,
  • mu é a média,
  • sigma é o desvio padrão.

Passo 4

Vamos calcular o z-score para o diâmetro mínimo de 8 cm (refugado):
z = 8 - 110,5 = -30,5 = -6

Passo 5

Agora, calculamos o z-score para o diâmetro máximo de 12 cm (retrabalhado):
z = 12 - 110,5 = 10,5 = 2

Passo 6

Com os valores de z, vamos procurar na tabela da distribuição normal a probabilidade correspondente a cada z-score.
  • Para z = -6: A probabilidade de ser menor que 8 cm é praticamente 0, pois -6 é um valor muito extremo na distribuição normal.
  • Para z = 2: A probabilidade de ser menor que 12 cm é aproximadamente 0,9772.

Passo 7

A probabilidade de ser retrabalhada é a probabilidade de ser maior que 12 cm. Como a probabilidade de ser menor que 12 cm é 0,9772, a probabilidade de ser maior é:
P(X > 12) = 1 - 0,9772 = 0,0228 ou 2,28%

Passo 8

A probabilidade de ser refugada é praticamente 0%, já que z = -6 está tão longe da média que quase não existe tampas com diâmetro menor que 8 cm.

Passo 9

Então, resumindo:
  • Probabilidade de ser refugada: Aproximadamente 0%
  • Probabilidade de ser retrabalhada: 2,28%

Resposta

a) A probabilidade da tampa ser refugada é praticamente 0% e a probabilidade dela ser retrabalhada é de aproximadamente 2,28%.

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