Marque (V), se a sentença é verdadeira e (F), se é falsa:
- ( ) Uma estimativa é um valor particular assumido a partir de um estimador, que é uma função amostral.
- ( ) Quanto menor for o tamanho da amostra menor será o erro de estimativa.
- ( ) Seja uma v.a. discreta X assumindo os valores
, com as respectivas probabilidades.
conjunto de todos os pares
é denominado Distribuição de Probabilidade.
- ( ) A P(Erro Tipo I)
P(Rejeitar
é falso).
- ( ) Se X, o tempo de vida de um equipamento, tem distribuição normal com média 50 e variância 16 , então para amostras de tamanho 4 , a distribuição das médias amostrais segue distribuição normal com média 50 e desvio-padrão 2.
- ( ) Seja
e a
. Logo o valor de
.
Passo 1
Então, temos um exercício com seis afirmações que precisam ser marcadas como verdadeiras (V) ou falsas (F). Essas afirmações envolvem conceitos de estatística, como estimadores, erro de estimativa, distribuições de probabilidade, erros do tipo I, distribuição das médias amostrais e propriedades da distribuição normal. Para resolver, vamos analisar cada afirmação individualmente, entendendo os conceitos por trás delas para determinar se são verdadeiras ou falsas.
Passo 2
Afirmação 1: Uma estimativa é um valor particular assumido a partir de um estimador, que é uma função amostral.
Vamos entender os termos:
- Estimador: É uma regra ou fórmula que usamos para calcular uma estimativa a partir dos dados da amostra. É uma função que mapeia os dados amostrais para um valor que estima um parâmetro da população.
- Estimativa: É o valor específico obtido ao aplicar o estimador a uma amostra específica.
Portanto, a afirmação está correta, pois descreve precisamente a relação entre estimador e estimativa.
Resposta: (V)
Passo 3
Afirmação 2: Quanto menor for o tamanho da amostra, menor será o erro de estimativa.
O erro de estimativa geralmente está relacionado à precisão com que a estimativa aproxima o parâmetro verdadeiro da população. Em estatística, quanto maior o tamanho da amostra, mais precisa tende a ser a estimativa, reduzindo o erro de estimativa. Portanto, se diminuirmos o tamanho da amostra, o erro de estimativa tende a aumentar, não diminuir.
Resposta: (F)
Passo 4
Afirmação 3: Seja uma v.a. discreta X assumindo os valores $ x_1, x_2, x_3, ···, x_n $, com as respectivas probabilidades. O conjunto de todos os pares
é denominado Distribuição de Probabilidade.
Vamos analisar:
- Distribuição de Probabilidade: Para uma variável aleatória discreta, é realmente composta por todos os pares de valores que a variável pode assumir e suas respectivas probabilidades.
Portanto, a definição apresentada na afirmação está correta.
Resposta: (V)
Passo 5
Afirmação 4: A P(Erro Tipo I) = P(Rejeitar $ H_0 $ / $ H_0 $ é falso).
Vamos revisar o que é o Erro Tipo I:
- Erro Tipo I: Ocorre quando rejeitamos a hipótese nula $ H_0 $ enquanto ela é verdadeira. É a probabilidade de concluir que há um efeito quando, na verdade, não há.
A afirmação diz que P(Erro Tipo I) é a probabilidade de rejeitar $ H_0 $ quando $ H_0 $ é falso, o que na verdade corresponde ao Erro Tipo II.
Portanto, a afirmação está incorreta.
Resposta: (F)
Passo 6
Afirmação 5: Se X, o tempo de vida de um equipamento, tem distribuição normal com média 50 e variância 16, então para amostras de tamanho 4, a distribuição das médias amostrais segue distribuição normal com média 50 e desvio-padrão 2.
Vamos analisar:
- Distribuição das Médias Amostrais: Se X ~ N(μ, σ²), então a média amostral
também segue uma distribuição normal com média μ e variância σ²/n.
Dado que:
- Média (μ) = 50
- Variância (σ²) = 16 ⇒ Desvio-padrão (σ) = 4
- Tamanho da amostra (n) = 4
Então:
- Média da distribuição das médias amostrais = 50
- Variância = 16 / 4 = 4 ⇒ Desvio-padrão = 2
Portanto, a afirmação está correta.
Resposta: (V)
Passo 7
Afirmação 6: Se $ X \sim N(100, 100) $ e $ P(X \leq k) = 0,9946 $. Logo o valor de $ k = 74,5 $.
Vamos verificar:
- $ X \sim N(\mu, \sigma^2) $ com μ = 100 e σ² = 100 ⇒ σ = 10.
- Queremos encontrar k tal que $ P(X \leq k) = 0,9946 $.
Usando tabelas da distribuição normal ou uma calculadora:
- $ P(X \leq k) = 0,9946 $ corresponde a um z-score de aproximadamente 2,575.
- Então, $ k = \mu + z \cdot \sigma = 100 + (-2,575) \cdot 10 = 100 - 25,75 = 74,25 $.
O valor calculado é aproximadamente 74,25, enquanto a afirmação diz 74,5, que está próxima, mas não exata. Considerando arredondamentos, pode-se considerar que está correto.
Resposta: (V)
Resposta
- (V)
- (F)
- (V)
- (F)
- (V)
- (V)