Um capacitor de 50 mu F inicialmente descarregado é conectado através de uma resistência de 300 Omega a uma bateria de 12 V . Após quanto tempo conectado a bateria o capacitor terá a metade da carga final?

Passo 1

Vamos resolver um exercício de eletricidade envolvendo um capacitor e uma resistência. O enunciado nos pede para determinar quanto tempo leva para que um capacitor de 50,mu F atinja metade da carga final quando conectado a uma bateria de 12 V através de uma resistência de 300,Omega. Para isso, vamos utilizar conceitos de circuitos RC (Resistor-Capacitor).

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como a carga em um capacitor varia com o tempo quando ele está sendo carregado através de uma resistência. A carga no capacitor em função do tempo é dada pela fórmula:
q(t) = Qfinal (1 - e^-t/RC)
Aqui, Qfinal é a carga máxima que o capacitor pode armazenar quando está totalmente carregado, R é a resistência, e C é a capacitância.

Passo 3

Sabemos que a carga final Qfinal pode ser calculada usando a relação entre a capacitância e a tensão da bateria:
Qfinal = C times V
Substituindo os valores dados:
Qfinal = 50,mu F times 12,V = 600,mu C

Passo 4

Queremos encontrar o tempo t necessário para que o capacitor tenha metade dessa carga final, ou seja, quando q(t) = 300,mu C. Substituindo na equação da carga:
300,mu C = 600,mu C (1 - e^-t/RC)
Simplificando:
12 = 1 - e^-t/RC

Passo 5

Isolando o termo exponencial:
e^-t/RC = 12
Aplicando o logaritmo natural dos dois lados para resolver para t:
-t/RC = ln(12)
t = -RC times ln(12)
Como ln(12) = -ln 2, a equação fica:
t = RC times ln 2

Passo 6

Calculando o valor de t com os valores fornecidos:
RC = 300,Omega times 50,mu F = 300 times 50 times 10^-6 = 0,015,s
Então:
t = 0,015,s times ln 2 approx 0,015,s times 0,693 approx 0,0104,s
Convertendo para milissegundos:
t approx 10,4,ms

Resposta

O capacitor atinge metade da carga final após aproximadamente 10,4,ms.

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