Um capacitor inicialmente descarregado é carregado totalmente por uma fonte de força eletromotriz constante ligada em série com um resistor (i.e., um circuito série formado por um capacitor, uma fonte ideal de força eletromotriz e uma resistência ). Determine:
(a) a carga no capacitor em função do tempo e avalie os limites e ;
(b) a corrente de carga do capacitor em função do tempo e avalie os limites e ;
© a diferença de potencial entre as placas do capacitor durante o processo de carga e avalie os limites e .
(e) Mostre que a energia final armazenada no capacitor é igual à metade da energia fornecida pela fonte.
(f) Integrando o produto no intervalo de tempo do carregamento, mostre que a energia térmica dissipada pelo resistor também é igual à metade da energia fornecida pela fonte.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou trata sobre como carregar um capacitor em um circuito série com um resistor e uma fonte de força eletromotriz constante. Vamos precisar usar conceitos de circuitos elétricos, especialmente a fórmula de carga de um capacitor em um circuito RC. Vamos resolver cada parte passo a passo!

Passo 2

Parte (a): Encontrar a carga no capacitor em função do tempo e avaliar os limites e .
Primeiro, sabemos que a carga em um capacitor que está sendo carregado por uma fonte de tensão em um circuito RC é dada pela fórmula:
Onde:
  • é a capacitância do capacitor.
  • é a resistência do resistor.
  • é o tempo.
  • é a base do logaritmo natural.
Limites:
  1. Quando :
Então, no instante inicial, a carga no capacitor é zero, o que faz sentido porque ele começa descarregado.
  1. Quando :
No longo prazo, o capacitor está totalmente carregado com a carga .

Passo 3

Parte (b): Encontrar a corrente de carga do capacitor em função do tempo e avaliar os limites e .
A corrente em um circuito RC durante o processo de carga é dada pela derivada da carga em relação ao tempo:
Limites:
  1. Quando :
No instante inicial, a corrente é máxima e igual à tensão da fonte dividida pela resistência.
  1. Quando :
Com o tempo passando, a corrente diminui exponencialmente até zero, já que o capacitor está completamente carregado.

Passo 4

Parte ©: Encontrar a diferença de potencial entre as placas do capacitor durante o processo de carga e avaliar os limites e .
A diferença de potencial no capacitor é relacionada à carga pelo . Usando a expressão da carga que encontramos na Parte (a):
Limites:
  1. Quando :
Inicialmente, não há tensão no capacitor.
  1. Quando :
Com o tempo, a tensão no capacitor se iguala à tensão da fonte.

Passo 5

Parte (e): Mostrar que a energia final armazenada no capacitor é igual à metade da energia fornecida pela fonte.
A energia armazenada no capacitor é dada por:
A energia fornecida pela fonte é:
Comparando as duas:
Portanto, a energia armazenada no capacitor é metade da energia fornecida pela fonte.

Passo 6

Parte (f): Integrar o produto no intervalo de tempo do carregamento e mostrar que a energia térmica dissipada pelo resistor também é igual à metade da energia fornecida pela fonte.
A energia térmica dissipada no resistor é:
é
Substituindo :
é
Resolvendo a integral:
Então:
é
Isso mostra que a energia térmica dissipada pelo resistor tamb��m é metade da energia fornecida pela fonte.

Resposta

Resumindo:
(a) A carga no capacitor é , com e .
(b) A corrente de carga é , com e .
© A diferença de potencial no capacitor é , com e .
(e) A energia final armazenada no capacitor é , igual à metade da energia fornecida pela fonte.
(f) A energia térmica dissipada pelo resistor também é , igual à metade da energia fornecida pela fonte.

Exercícios relacionados

Para as condições estabelecidas, determine: © a máxima temperatura atingida pelo óleo; Apresente seus resultados em função das propriedades do fluido, da temperatura do mancal e da velocidade da placa em movimento.
Uma placa plana, com largura de 1 m , é mantida a uma temperatura superficial uniforme de pelo uso de módulos retangulares geradores de calor, com espessura e comprimento , que são controlados independentemente. Cada módulo encontra-se isolado de seus vizinhos, bem como em sua superfície inferior. Ar atmosférico a escoa sobre a superfície da placa a uma velocidade de . As propriedades termofísicas dos módulos são e .
Determine a temperatura máxima neste módulo de geração. (R:
Considere o escoamento em regime permanente, laminar, bidimensional incompressível, com propriedades constantes e número de Prandtl igual a 1. Para determinada geometria, é correto dizer que tanto os coeficientes médios de atrito como os de transferência de calor dependem somente do número de Reynolds?
Considere uma massa de 100 g de gelo que deve ser aquecida usando um aquecedor com potência de 200 W até termos água a . Calcule o tempo necessário. (Dados: o calor específico da água é , o calor específico do gelo é , o calor latente de fusão do gelo é