Um capacitor
inicialmente descarregado é carregado totalmente por uma fonte de força eletromotriz constante ligada em série com um resistor
(i.e., um circuito
série formado por um capacitor, uma fonte ideal de força eletromotriz e uma resistência
). Determine:
(a) a carga no capacitor em função do tempo
e avalie os limites
e
;
(b) a corrente de carga do capacitor em função do tempo e avalie os limites
e
;
© a diferença de potencial
entre as placas do capacitor durante o processo de carga e avalie os limites
e
.
(e) Mostre que a energia final armazenada no capacitor é igual à metade da energia fornecida pela fonte.
(f) Integrando o produto
no intervalo de tempo do carregamento, mostre que a energia térmica dissipada pelo resistor também é igual à metade da energia fornecida pela fonte.
(a) a carga no capacitor em função do tempo
(b) a corrente de carga do capacitor em função do tempo e avalie os limites
© a diferença de potencial
(e) Mostre que a energia final armazenada no capacitor é igual à metade da energia fornecida pela fonte.
(f) Integrando o produto
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou trata sobre como carregar um capacitor em um circuito série com um resistor
e uma fonte de força eletromotriz constante. Vamos precisar usar conceitos de circuitos elétricos, especialmente a fórmula de carga de um capacitor em um circuito RC. Vamos resolver cada parte passo a passo!
Passo 2
Parte (a): Encontrar a carga no capacitor em função do tempo
e avaliar os limites
e
.
Primeiro, sabemos que a carga
em um capacitor que está sendo carregado por uma fonte de tensão
em um circuito RC é dada pela fórmula:
Onde:
-
é a capacitância do capacitor. -
é a resistência do resistor. -
é o tempo. -
é a base do logaritmo natural.
Limites:
- Quando
:
Então, no instante inicial, a carga no capacitor é zero, o que faz sentido porque ele começa descarregado.
- Quando
:
No longo prazo, o capacitor está totalmente carregado com a carga
.
Passo 3
Parte (b): Encontrar a corrente de carga do capacitor em função do tempo e avaliar os limites
e
.
A corrente
em um circuito RC durante o processo de carga é dada pela derivada da carga em relação ao tempo:
Limites:
- Quando
:
No instante inicial, a corrente é máxima e igual à tensão da fonte dividida pela resistência.
- Quando
:
Com o tempo passando, a corrente diminui exponencialmente até zero, já que o capacitor está completamente carregado.
Passo 4
Parte ©: Encontrar a diferença de potencial
entre as placas do capacitor durante o processo de carga e avaliar os limites
e
.
A diferença de potencial no capacitor
é relacionada à carga pelo
. Usando a expressão da carga que encontramos na Parte (a):
Limites:
- Quando
:
Inicialmente, não há tensão no capacitor.
- Quando
:
Com o tempo, a tensão no capacitor se iguala à tensão da fonte.
Passo 5
Parte (e): Mostrar que a energia final armazenada no capacitor é igual à metade da energia fornecida pela fonte.
A energia armazenada no capacitor é dada por:
A energia fornecida pela fonte é:
Comparando as duas:
Portanto, a energia armazenada no capacitor é metade da energia fornecida pela fonte.
Passo 6
Parte (f): Integrar o produto
no intervalo de tempo do carregamento e mostrar que a energia térmica dissipada pelo resistor também é igual à metade da energia fornecida pela fonte.
A energia térmica dissipada no resistor é:
Substituindo
:
Resolvendo a integral:
Então:
Isso mostra que a energia térmica dissipada pelo resistor tamb��m é metade da energia fornecida pela fonte.
Resposta
Resumindo:
(a) A carga no capacitor é
, com
e
.
(b) A corrente de carga é
, com
e
.
© A diferença de potencial no capacitor é
, com
e
.
(e) A energia final armazenada no capacitor é
, igual à metade da energia fornecida pela fonte.
(f) A energia térmica dissipada pelo resistor também é
, igual à metade da energia fornecida pela fonte.