Um capacitor C inicialmente descarregado é carregado totalmente por uma fonte de força eletromotriz constante ligada em série com um resistor R (i.e., um circuito R C série formado por um capacitor, uma fonte ideal de força eletromotriz e uma resistência R ). Determine:
(a) a carga no capacitor em função do tempo t e avalie os limites t 0 e t infty;
(b) a corrente de carga do capacitor em função do tempo e avalie os limites t 0 e t infty;
© a diferença de potencial VC(t) entre as placas do capacitor durante o processo de carga e avalie os limites t 0 e t infty.
(e) Mostre que a energia final armazenada no capacitor é igual à metade da energia fornecida pela fonte.
(f) Integrando o produto i^2 R no intervalo de tempo do carregamento, mostre que a energia térmica dissipada pelo resistor também é igual à metade da energia fornecida pela fonte.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou trata sobre como carregar um capacitor em um circuito série com um resistor e uma fonte de força eletromotriz constante. Vamos precisar usar conceitos de circuitos elétricos, especialmente a fórmula de carga de um capacitor em um circuito RC. Vamos resolver cada parte passo a passo!

Passo 2

Parte (a): Encontrar a carga no capacitor em função do tempo Q(t) = C V (1 - e^-tRC) e avaliar os limites limt to 0 Q(t) = C V (1 - e^0) = C V (1 - 1) = 0 e limt to infty Q(t) = C V (1 - e^-infty) = C V (1 - 0) = C V .
Primeiro, sabemos que a carga em um capacitor que está sendo carregado por uma fonte de tensão em um circuito RC é dada pela fórmula:
Onde:
  • é a capacitância do capacitor.
  • é a resistência do resistor.
  • é o tempo.
  • é a base do logaritmo natural.
Limites:
  1. Quando :
Então, no instante inicial, a carga no capacitor é zero, o que faz sentido porque ele começa descarregado.
  1. Quando :
No longo prazo, o capacitor está totalmente carregado com a carga .

Passo 3

Parte (b): Encontrar a corrente de carga do capacitor em função do tempo e avaliar os limites I(t) = dQ(t)dt = VR e^-tRC e limt to 0 I(t) = VR e^0 = VR .
A corrente limt to infty I(t) = VR e^-infty = 0 em um circuito RC durante o processo de carga é dada pela derivada da carga em relação ao tempo:
Limites:
  1. Quando :
No instante inicial, a corrente é máxima e igual à tensão da fonte dividida pela resistência.
  1. Quando :
Com o tempo passando, a corrente diminui exponencialmente até zero, já que o capacitor está completamente carregado.

Passo 4

Parte ©: Encontrar a diferença de potencial VC(t) = V (1 - e^-tRC) entre as placas do capacitor durante o processo de carga e avaliar os limites limt to 0 VC(t) = V (1 - 1) = 0 e limt to infty VC(t) = V (1 - 0) = V .
A diferença de potencial no capacitor é relacionada à carga pelo . Usando a expressão da carga que encontramos na Parte (a):
Limites:
  1. Quando :
Inicialmente, não há tensão no capacitor.
  1. Quando :
Com o tempo, a tensão no capacitor se iguala à tensão da fonte.

Passo 5

Parte (e): Mostrar que a energia final armazenada no capacitor é igual à metade da energia fornecida pela fonte.
A energia armazenada no capacitor é dada por:
U = 12 C V^2
A energia fornecida pela fonte é:
Efornecida = V Q = V (C V) = C V^2
Comparando as duas:
U = 12 Efornecida
Portanto, a energia armazenada no capacitor é metade da energia fornecida pela fonte.

Passo 6

Parte (f): Integrar o produto Etérmica = integral0^infty I(t)^2 R , dt no intervalo de tempo do carregamento e mostrar que a energia térmica dissipada pelo resistor também é igual à metade da energia fornecida pela fonte.
A energia térmica dissipada no resistor é:
Etérmica = integral0^infty (VR e^-tRC)^2 R , dt = V^2R integral0^infty e^-2tRC , dt é
Substituindo integral0^infty e^-2tRC , dt = RC2 :
Etérmica = V^2R cdot RC2 = 12 C V^2 é
Resolvendo a integral:
Então:
é
Isso mostra que a energia térmica dissipada pelo resistor tamb��m é metade da energia fornecida pela fonte.

Resposta

Resumindo:
(a) A carga no capacitor é , com e .
(b) A corrente de carga é , com e .
© A diferença de potencial no capacitor é , com e .
(e) A energia final armazenada no capacitor é , igual à metade da energia fornecida pela fonte.
(f) A energia térmica dissipada pelo resistor também é , igual à metade da energia fornecida pela fonte.

Exercícios relacionados