Para as condições estabelecidas, determine: © a máxima temperatura atingida pelo óleo; Apresente seus resultados em função das propriedades do fluido, da temperatura do mancal e da velocidade da placa em movimento.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente determinar a máxima temperatura que o óleo atinge nas condições dadas. A gente vai trabalhar com conceitos de transferência de calor e propriedades dos fluidos. Para resolver isso, vamos precisar entender como o calor é gerado no óleo devido ao movimento da placa e como esse calor é transferido para o ambiente. Vamos precisar das propriedades do fluido (como viscosidade e condutividade térmica), da temperatura do mancal e da velocidade da placa.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar no que está acontecendo. Quando a placa se move, ela faz o óleo sofrer atrito, gerando calor. Esse calor aumenta a temperatura do óleo. A máxima temperatura ocorre quando a quantidade de calor gerado pelo atrito é igual à quantidade de calor que o óleo consegue dissipar para o ambiente.
Passo 3
Para calcular isso, vamos estabelecer que a potência gerada pelo atrito § é igual à potência dissipada pelo óleo (Q). A potência gerada pelo atrito pode ser expressa como:
Onde:
-
é a tensão de cisalhamento do óleo, -
é a área de contato, -
é a velocidade da placa.
Passo 4
A tensão de cisalhamento
pode ser relacionada com a viscosidade
do óleo e o gradiente de velocidade. Se considerarmos uma camada de óleo com espessura
, temos:
Passo 5
Agora, substituindo
na equação da potência gerada:
Passo 6
A potência dissipada pelo óleo através da condução térmica pode ser expressa pela Lei de Fourier:
Onde:
-
é a condutividade térmica do óleo, -
é a diferença de temperatura entre o óleo e o mancal.
Passo 7
No equilíbrio térmico, a potência gerada é igual à potência dissipada:
Podemos simplificar cancelando
e
:
Passo 8
Agora, queremos encontrar a máxima temperatura
. Sabemos que:
Substituindo na equação anterior:
Passo 9
Isolando
:
Resposta
A máxima temperatura atingida pelo óleo é dada por:
Onde:
-
é a viscosidade do óleo, -
é a velocidade da placa em movimento, -
é a condutividade térmica do óleo, -
é a temperatura do mancal.