Para as condições estabelecidas, determine: © a máxima temperatura atingida pelo óleo; Apresente seus resultados em função das propriedades do fluido, da temperatura do mancal e da velocidade da placa em movimento.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente determinar a máxima temperatura que o óleo atinge nas condições dadas. A gente vai trabalhar com conceitos de transferência de calor e propriedades dos fluidos. Para resolver isso, vamos precisar entender como o calor é gerado no óleo devido ao movimento da placa e como esse calor é transferido para o ambiente. Vamos precisar das propriedades do fluido (como viscosidade e condutividade térmica), da temperatura do mancal e da velocidade da placa.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar no que está acontecendo. Quando a placa se move, ela faz o óleo sofrer atrito, gerando calor. Esse calor aumenta a temperatura do óleo. A máxima temperatura ocorre quando a quantidade de calor gerado pelo atrito é igual à quantidade de calor que o óleo consegue dissipar para o ambiente.

Passo 3

Para calcular isso, vamos estabelecer que a potência gerada pelo atrito § é igual à potência dissipada pelo óleo (Q). A potência gerada pelo atrito pode ser expressa como:
P = tau cdot A cdot U
Onde:
  • é a tensão de cisalhamento do óleo,
  • é a área de contato,
  • é a velocidade da placa.

Passo 4

A tensão de cisalhamento tau = eta cdot Ud pode ser relacionada com a viscosidade do óleo e o gradiente de velocidade. Se considerarmos uma camada de óleo com espessura , temos:

Passo 5

Agora, substituindo P = eta cdot Ud cdot A cdot U = eta cdot A cdot U^2d na equação da potência gerada:

Passo 6

A potência dissipada pelo óleo através da condução térmica pode ser expressa pela Lei de Fourier:
Q = k cdot A cdot De
Onde:
  • é a condutividade térmica do óleo,
  • é a diferença de temperatura entre o óleo e o mancal.

Passo 7

No equilíbrio térmico, a potência gerada é igual à potência dissipada:
eta cdot A cdot U^2d = k cdot A cdot De
Podemos simplificar cancelando eta cdot U^2 = k cdot De e :

Passo 8

Agora, queremos encontrar a máxima temperatura De. Sabemos que:
eta cdot U^2 = k cdot (Tmax - Tmancal)
Substituindo na equação anterior:

Passo 9

Isolando Tmax = eta cdot U^2k + Tmancal :

Resposta

A máxima temperatura atingida pelo óleo é dada por:
Tmax = eta cdot U^2k + Tmancal
Onde:
  • é a viscosidade do óleo,
  • é a velocidade da placa em movimento,
  • é a condutividade térmica do óleo,
  • é a temperatura do mancal.

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