Um capacitor de capacitância
está descarregando através de uma resistência R. Determine
(a) Em termos da constante de tempo
, em que instante a carga no capacitor será metade do seu valor inicial?
(b) Em que instante a energia armazenada no capacitor será igual à metade do seu valor inicial?
© Qual é a energia dissipada no resistor durante a descarga do capacitor? (Reobtenha esta resposta integrando
)
(a) Em termos da constante de tempo
(b) Em que instante a energia armazenada no capacitor será igual à metade do seu valor inicial?
© Qual é a energia dissipada no resistor durante a descarga do capacitor? (Reobtenha esta resposta integrando
Passo 1
Neste exercício, temos um capacitor de capacitância
que está descarregando através de uma resistência
. Vamos utilizar conceitos de circuitos elétricos, especificamente a descarga de um capacitor. A constante de tempo
será fundamental para resolver as questões. Precisamos determinar:
(a) O instante em que a carga no capacitor é metade do seu valor inicial.
(b) O instante em que a energia armazenada no capacitor é igual à metade da energia inicial.
© A energia dissipada no resistor durante a descarga do capacitor.
Passo 2
Parte (a): Determinar o instante em que a carga no capacitor é metade do seu valor inicial.
Quando um capacitor descarrega através de uma resistência, a carga
no capacitor varia com o tempo segundo a equação:
Onde:
-
é a carga inicial. -
é a constante de tempo.
Queremos encontrar o tempo
em que a carga
é metade da carga inicial
:
Dividindo ambos os lados por
:
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados para resolver para
:
Sabemos que
, então:
Passo 3
Parte (b): Determinar o instante em que a energia armazenada no capacitor é metade do seu valor inicial.
A energia armazenada em um capacitor é dada por:
Substituindo
da descarga:
Queremos que
, onde
:
Simplificando:
Aplicando o logaritmo natural:
Resolvendo para
:
Passo 4
Parte ©: Calcular a energia dissipada no resistor durante a descarga do capacitor.
A energia dissipada no resistor
pode ser encontrada integrando a potência dissipada ao longo do tempo. A potência
no resistor é:
Então, a energia dissipada é:
Sabemos que a corrente
durante a descarga é:
Então:
Substituindo na integral:
Calculando a integral:
Portanto:
Observamos que
, então a energia dissipada no resistor é igual à energia inicial armazenada no capacitor.
Resposta
(a) O instante em que a carga no capacitor é metade do valor inicial é
.
(b) O instante em que a energia armazenada no capacitor é metade da inicial é
.
© A energia dissipada no resistor durante a descarga do capacitor é
.
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