Um capacitor de capacitância está descarregando através de uma resistência R. Determine
(a) Em termos da constante de tempo , em que instante a carga no capacitor será metade do seu valor inicial?
(b) Em que instante a energia armazenada no capacitor será igual à metade do seu valor inicial?
© Qual é a energia dissipada no resistor durante a descarga do capacitor? (Reobtenha esta resposta integrando )

Passo 1

Neste exercício, temos um capacitor de capacitância que está descarregando através de uma resistência . Vamos utilizar conceitos de circuitos elétricos, especificamente a descarga de um capacitor. A constante de tempo será fundamental para resolver as questões. Precisamos determinar:
(a) O instante em que a carga no capacitor é metade do seu valor inicial.
(b) O instante em que a energia armazenada no capacitor é igual à metade da energia inicial.
© A energia dissipada no resistor durante a descarga do capacitor.

Passo 2

Parte (a): Determinar o instante em que a carga no capacitor é metade do seu valor inicial.
Quando um capacitor descarrega através de uma resistência, a carga no capacitor varia com o tempo segundo a equação:
Onde:
  • é a carga inicial.
  • é a constante de tempo.
Queremos encontrar o tempo em que a carga é metade da carga inicial :
Dividindo ambos os lados por :
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados para resolver para :
Sabemos que , então:

Passo 3

Parte (b): Determinar o instante em que a energia armazenada no capacitor é metade do seu valor inicial.
A energia armazenada em um capacitor é dada por:
Substituindo da descarga:
Queremos que , onde :
Simplificando:
Aplicando o logaritmo natural:
Resolvendo para :

Passo 4

Parte ©: Calcular a energia dissipada no resistor durante a descarga do capacitor.
A energia dissipada no resistor pode ser encontrada integrando a potência dissipada ao longo do tempo. A potência no resistor é:
Então, a energia dissipada é:
Sabemos que a corrente durante a descarga é:
Então:
Substituindo na integral:
Calculando a integral:
Portanto:
Observamos que , então a energia dissipada no resistor é igual à energia inicial armazenada no capacitor.

Resposta

(a) O instante em que a carga no capacitor é metade do valor inicial é .
(b) O instante em que a energia armazenada no capacitor é metade da inicial é .
© A energia dissipada no resistor durante a descarga do capacitor é .

Exercícios relacionados

Considere uma esfera de raio uniformemente carregada com densidade volumar de carga . Calcule o campo eletrostático, dentro e fora, criado por essa esfera utilizando a Lei de Gauss e trace um gráfico de em função da distância.
Um elétron é introduzido em uma das extremidades de um solenóide. Ao penetrar no campo magnético uniforme que existe no interior do solenóide a velocidade do elétron possui magnitude e faz um ângulo com o eixo do solenóide. O solenóide tem espiras e conduz uma corrente . Quantas revoluções o elétron desenvolve no interior do solenóide antes de chegar à outra extremidade? (Resp. )
Qual é a diferença entre corrente de convecção e corrente de condução?
Considere um fio cilíndrico longo de raio R e que conduz uma corrente . Calcule os valores das constantes e do módulo do campo magnético gerado pela corrente em todo o espaço quando a mesma está distribuida conforme as densidades de corrente: