Um capacitor de capacitância C está descarregando através de uma resistência R. Determine
(a) Em termos da constante de tempo tau=R C, em que instante a carga no capacitor será metade do seu valor inicial?
(b) Em que instante a energia armazenada no capacitor será igual à metade do seu valor inicial?
© Qual é a energia dissipada no resistor durante a descarga do capacitor? (Reobtenha esta resposta integrando d U=R I^2 d t )

Passo 1

Neste exercício, temos um capacitor de capacitância que está descarregando através de uma resistência . Vamos utilizar conceitos de circuitos elétricos, especificamente a descarga de um capacitor. A constante de tempo será fundamental para resolver as questões. Precisamos determinar:
(a) O instante em que a carga no capacitor é metade do seu valor inicial.
(b) O instante em que a energia armazenada no capacitor é igual à metade da energia inicial.
© A energia dissipada no resistor durante a descarga do capacitor.

Passo 2

Parte (a): Determinar o instante em que a carga no capacitor é metade do seu valor inicial.
Quando um capacitor descarrega através de uma resistência, a carga Q(t) = Q0 e^-t/tau no capacitor varia com o tempo segundo a equação:
Q02 = Q0 e^-t/tau
Onde:
  • 12 = e^-t/tau é a carga inicial.
  • ln(12) = -ttau é a constante de tempo.
Queremos encontrar o tempo -ln2 = -ttau implies t = tau ln2 em que a carga é metade da carga inicial :
Dividindo ambos os lados por :
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados para resolver para :
Sabemos que , então:

Passo 3

Parte (b): Determinar o instante em que a energia armazenada no capacitor é metade do seu valor inicial.
A energia armazenada em um capacitor é dada por:
U = Q^22C
Substituindo U(t) = (Q0 e^-t/tau)^22C = Q0^22C e^-2t/tau da descarga:
Q0^22C e^-2t/tau = 12 cdot Q0^22C
Queremos que e^-2t/tau = 12 , onde -2ttau = ln(12) = -ln2 :
t = tau2 ln2
Simplificando:
Aplicando o logaritmo natural:
Resolvendo para :

Passo 4

Parte ©: Calcular a energia dissipada no resistor durante a descarga do capacitor.
A energia dissipada no resistor P = I^2 R pode ser encontrada integrando a potência dissipada ao longo do tempo. A potência UR = integral0^infty P , dt = integral0^infty I^2 R , dt no resistor é:
I(t) = Q(t)R = Q0R e^-t/tau
Então, a energia dissipada é:
I^2(t) = (Q0R)^2 e^-2t/tau
Sabemos que a corrente UR = R integral0^infty (Q0R)^2 e^-2t/tau , dt = Q0^2R integral0^infty e^-2t/tau , dt durante a descarga é:
integral0^infty e^-2t/tau , dt = tau2
Então:
UR = Q0^2R cdot tau2 = Q0^22C
Substituindo na integral:
Calculando a integral:
Portanto:
Observamos que , então a energia dissipada no resistor é igual à energia inicial armazenada no capacitor.

Resposta

(a) O instante em que a carga no capacitor é metade do valor inicial é .
(b) O instante em que a energia armazenada no capacitor é metade da inicial é .
© A energia dissipada no resistor durante a descarga do capacitor é .

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