Considere um fio cilíndrico longo de raio R e que conduz uma corrente . Calcule os valores das constantes e do módulo do campo magnético gerado pela corrente em todo o espaço quando a mesma está distribuida conforme as densidades de corrente:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular as constantes , , e o módulo do campo magnético gerado por uma corrente que percorre um fio cilíndrico longo de raio . A corrente está distribuída de acordo com certas densidades de corrente que provavelmente foram detalhadas no enunciado completo. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Ampère, que nos ajuda a encontrar o campo magnético criado por correntes elétricas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como a corrente está distribuída no fio. Se a densidade de corrente depende da distância do centro do fio, então teremos duas situações:
Dentro do fio (): A densidade de corrente pode variar com , por exemplo, proporcional a ou constante.
Fora do fio (): A corrente está totalmente nos limites do fio, então o campo magnético depende apenas da corrente total .
Vamos assumir que a densidade de corrente é proporcional a dentro do fio, ou seja, , onde é uma constante que precisamos determinar.
Passo 3
Para achar , usamos a condição de que a corrente total é a integral da densidade de corrente sobre a área da seção transversal do fio:
Integrando:
Resolvendo para :
Passo 4
Agora, vamos calcular o campo magnético dentro do fio (). Usamos a Lei de Ampère, que nos diz que a integral do campo magnético ao longo de um caminho fechado é igual à permeabilidade magnética vezes a corrente total que passa pelo caminho.
Para um caminho circular de raio dentro do fio:
A corrente encerrada até o raio é:
Substituindo :
Então, usando a Lei de Ampère:
Passo 5
Para o campo magnético fora do fio (), toda a corrente está dentro do caminho de Ampère. Assim, aplicamos novamente a Lei de Ampère:
Resposta
As constantes e o módulo do campo magnético são dados por: