Considere um fio cilíndrico longo de raio R e que conduz uma corrente I. Calcule os valores das constantes alpha, beta, gamma e do módulo do campo magnético gerado pela corrente I em todo o espaço quando a mesma está distribuida conforme as densidades de corrente:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular as constantes , , e o módulo do campo magnético gerado por uma corrente que percorre um fio cilíndrico longo de raio . A corrente está distribuída de acordo com certas densidades de corrente que provavelmente foram detalhadas no enunciado completo. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Ampère, que nos ajuda a encontrar o campo magnético criado por correntes elétricas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como a corrente está distribuída no fio. Se a densidade de corrente depende da distância do centro do fio, então teremos duas situações:
  1. Dentro do fio ( ): A densidade de corrente pode variar com , por exemplo, proporcional a ou constante.
  2. Fora do fio ( ): A corrente está totalmente nos limites do fio, então o campo magnético depende apenas da corrente total .
Vamos assumir que a densidade de corrente é proporcional a dentro do fio, ou seja, , onde é uma constante que precisamos determinar.

Passo 3

Para achar I = integral0^R J(r) cdot 2pi r , dr = integral0^R alpha r cdot 2pi r , dr = 2pi alpha integral0^R r^2 , dr , usamos a condição de que a corrente total I = 2pi alpha [ r^33 ]0^R = 2pi alpha R^33 é a integral da densidade de corrente sobre a área da seção transversal do fio:
alpha = 3I2pi R^3
Integrando:
Resolvendo para :

Passo 4

Agora, vamos calcular o campo magnético dentro do fio ( oint B cdot dl = B(r) cdot 2pi r = mu0 Ienc ). Usamos a Lei de Ampère, que nos diz que a integral do campo magnético ao longo de um caminho fechado é igual à permeabilidade magnética vezes a corrente total que passa pelo caminho.
Para um caminho circular de raio Ienc = integral0^r J(r') cdot 2pi r' , dr' = integral0^r alpha r' cdot 2pi r' , dr' = 2pi alpha integral0^r r'^2 , dr' = 2pi alpha r^33 dentro do fio:
Ienc = 2pi cdot 3I2pi R^3 cdot r^33 = I r^3R^3
A corrente encerrada B(r) cdot 2pi r = mu0 I r^3R^3 implies B(r) = mu0 I r^22pi R^3 até o raio é:
Substituindo :
Então, usando a Lei de Ampère:

Passo 5

Para o campo magnético fora do fio ( B(r) cdot 2pi r = mu0 I implies B(r) = mu0 I2pi r ), toda a corrente está dentro do caminho de Ampère. Assim, aplicamos novamente a Lei de Ampère:

Resposta

As constantes e o módulo do campo magnético são dados por:
alpha = 3I2pi R^3
beta = 2
gamma = -1
| B(r) | = mu0 I r^22pi R^3 & para r < R mu0 I2pi r & para r >= R

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