Um elétron é introduzido em uma das extremidades de um solenóide. Ao penetrar no campo magnético uniforme que existe no interior do solenóide a velocidade do elétron possui magnitude v e faz um ângulo theta com o eixo do solenóide. O solenóide tem N espiras e conduz uma corrente I. Quantas revoluções o elétron desenvolve no interior do solenóide antes de chegar à outra extremidade? (Resp. N muo eItg theta2 pi m v )

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o enunciado tá pedindo. Temos um elétron entrando em um solenóide, que é tipo uma bobina com várias espiras. Quando ele entra no campo magnético criado pelo solenóide, a velocidade dele faz um ângulo theta com o eixo da bobina. A gente sabe o número de espiras N, a corrente I passando no solenóide, e a velocidade v do elétron. Queremos descobrir quantas voltas o elétron dá dentro do solenóide antes de sair pela outra ponta. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de força magnética, movimento circular e algumas fórmulas da física envolvendo campos magnéticos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a força magnética que atua sobre uma carga em movimento num campo magnético é dada pela fórmula:
F = q v times B
Aqui, q é a carga do elétron, v é a velocidade, e B é o campo magnético. Como a força é perpendicular à velocidade, ela vai fazer o elétron se mover em uma trajetória circular.

Passo 3

Agora, precisamos saber o campo magnético dentro de um solenóide. A fórmula para o campo magnético no interior de um solenóide é:
B = mu0 NL I
Onde mu0 é a permeabilidade do vácuo, N é o número de espiras e L é o comprimento do solenóide. Mas como o enunciado não nos dá o comprimento, vamos considerar que a força magnética depende do campo B e da velocidade v com o ângulo theta.

Passo 4

Vamos decompôr a velocidade do elétron em duas componentes: uma paralela ao campo magnético ( v costheta) e outra perpendicular ao campo ( v sintheta). Apenas a componente perpendicular ( v sintheta) vai causar a força magnética que faz o elétron circular.

Passo 5

A força magnética que atua na componente perpendicular da velocidade é:
F = q v sintheta B
Essa força fornece a força centrípeta que mantém o elétron em movimento circular:
F = m vperp^2r
Onde m é a massa do elétron, vperp = v sintheta é a velocidade perpendicular, e r é o raio da trajetória circular.

Passo 6

Igualando as duas expressões para a força, temos:
q v sintheta B = m (v sintheta)^2r
Simplificando, podemos resolver para o raio r:
r = m v sinthetaq B

Passo 7

Agora, vamos descobrir o tempo que o elétron leva para atravessar o solenóide. Sabemos a velocidade paralela v costheta e o comprimento L do solenóide. O tempo t é:
t = Lv costheta
Mas como não temos L, vamos relacionar com o número de voltas.

Passo 8

A frequência com que o elétron dá voltas é a frequência angular omega, que é:
omega = vperpr = v sinthetar
Substituindo r da Passo 6:
omega = v sinthetam v sinthetaq B = q Bm

Passo 9

A frequência omega nos diz quantas voltas por segundo o elétron dá. O número total de voltas Nvo é a frequência multiplicada pelo tempo:
Nvo

Passo 10

Como o solenóide tem N espiras e a relação entre B e N é B = mu0 NL I, substituímos B na expressão:
Nvo

Passo 11

Simplificando a expressão, temos:
Nvo
Como costheta = 1tantheta, reescrevemos:
Nvo

Resposta

A quantidade de revoluções que o elétron desenvolve no interior do solenóide é:
N mu0 , e I tan theta2 pi m v

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