Um elétron é introduzido em uma das extremidades de um solenóide. Ao penetrar no campo magnético uniforme que existe no interior do solenóide a velocidade do elétron possui magnitude e faz um ângulo com o eixo do solenóide. O solenóide tem espiras e conduz uma corrente . Quantas revoluções o elétron desenvolve no interior do solenóide antes de chegar à outra extremidade? (Resp. )

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o enunciado tá pedindo. Temos um elétron entrando em um solenóide, que é tipo uma bobina com várias espiras. Quando ele entra no campo magnético criado pelo solenóide, a velocidade dele faz um ângulo com o eixo da bobina. A gente sabe o número de espiras , a corrente passando no solenóide, e a velocidade do elétron. Queremos descobrir quantas voltas o elétron dá dentro do solenóide antes de sair pela outra ponta. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de força magnética, movimento circular e algumas fórmulas da física envolvendo campos magnéticos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a força magnética que atua sobre uma carga em movimento num campo magnético é dada pela fórmula:
Aqui, é a carga do elétron, é a velocidade, e é o campo magnético. Como a força é perpendicular à velocidade, ela vai fazer o elétron se mover em uma trajetória circular.

Passo 3

Agora, precisamos saber o campo magnético dentro de um solenóide. A fórmula para o campo magnético no interior de um solenóide é:
Onde é a permeabilidade do vácuo, é o número de espiras e é o comprimento do solenóide. Mas como o enunciado não nos dá o comprimento, vamos considerar que a força magnética depende do campo e da velocidade com o ângulo .

Passo 4

Vamos decompôr a velocidade do elétron em duas componentes: uma paralela ao campo magnético ( ) e outra perpendicular ao campo ( ). Apenas a componente perpendicular ( ) vai causar a força magnética que faz o elétron circular.

Passo 5

A força magnética que atua na componente perpendicular da velocidade é:
Essa força fornece a força centrípeta que mantém o elétron em movimento circular:
Onde é a massa do elétron, é a velocidade perpendicular, e é o raio da trajetória circular.

Passo 6

Igualando as duas expressões para a força, temos:
Simplificando, podemos resolver para o raio :

Passo 7

Agora, vamos descobrir o tempo que o elétron leva para atravessar o solenóide. Sabemos a velocidade paralela e o comprimento do solenóide. O tempo é:
Mas como não temos , vamos relacionar com o número de voltas.

Passo 8

A frequência com que o elétron dá voltas é a frequência angular , que é:
Substituindo da Passo 6:

Passo 9

A frequência nos diz quantas voltas por segundo o elétron dá. O número total de voltas é a frequência multiplicada pelo tempo:

Passo 10

Como o solenóide tem espiras e a relação entre e é , substituímos na expressão:

Passo 11

Simplificando a expressão, temos:
Como , reescrevemos:

Resposta

A quantidade de revoluções que o elétron desenvolve no interior do solenóide é:

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