Um elétron é introduzido em uma das extremidades de um solenóide. Ao penetrar no campo magnético uniforme que existe no interior do solenóide a velocidade do elétron possui magnitude
e faz um ângulo
com o eixo do solenóide. O solenóide tem
espiras e conduz uma corrente
. Quantas revoluções o elétron desenvolve no interior do solenóide antes de chegar à outra extremidade? (Resp.
)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o enunciado tá pedindo. Temos um elétron entrando em um solenóide, que é tipo uma bobina com várias espiras. Quando ele entra no campo magnético criado pelo solenóide, a velocidade dele faz um ângulo
com o eixo da bobina. A gente sabe o número de espiras
, a corrente
passando no solenóide, e a velocidade
do elétron. Queremos descobrir quantas voltas o elétron dá dentro do solenóide antes de sair pela outra ponta. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de força magnética, movimento circular e algumas fórmulas da física envolvendo campos magnéticos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a força magnética que atua sobre uma carga em movimento num campo magnético é dada pela fórmula:
Aqui,
é a carga do elétron,
é a velocidade, e
é o campo magnético. Como a força é perpendicular à velocidade, ela vai fazer o elétron se mover em uma trajetória circular.
Passo 3
Agora, precisamos saber o campo magnético dentro de um solenóide. A fórmula para o campo magnético no interior de um solenóide é:
Onde
é a permeabilidade do vácuo,
é o número de espiras e
é o comprimento do solenóide. Mas como o enunciado não nos dá o comprimento, vamos considerar que a força magnética depende do campo
e da velocidade
com o ângulo
.
Passo 4
Vamos decompôr a velocidade do elétron em duas componentes: uma paralela ao campo magnético (
) e outra perpendicular ao campo (
). Apenas a componente perpendicular (
) vai causar a força magnética que faz o elétron circular.
Passo 5
A força magnética que atua na componente perpendicular da velocidade é:
Essa força fornece a força centrípeta que mantém o elétron em movimento circular:
Onde
é a massa do elétron,
é a velocidade perpendicular, e
é o raio da trajetória circular.
Passo 6
Igualando as duas expressões para a força, temos:
Simplificando, podemos resolver para o raio
:
Passo 7
Agora, vamos descobrir o tempo que o elétron leva para atravessar o solenóide. Sabemos a velocidade paralela
e o comprimento
do solenóide. O tempo
é:
Mas como não temos
, vamos relacionar com o número de voltas.
Passo 8
A frequência com que o elétron dá voltas é a frequência angular
, que é:
Substituindo
da Passo 6:
Passo 9
A frequência
nos diz quantas voltas por segundo o elétron dá. O número total de voltas
é a frequência multiplicada pelo tempo:
Passo 10
Como o solenóide tem
espiras e a relação entre
e
é
, substituímos
na expressão:
Passo 11
Simplificando a expressão, temos:
Como
, reescrevemos:
Resposta
A quantidade de revoluções que o elétron desenvolve no interior do solenóide é:
Exercícios relacionados
Prótons, dêuterons (cada qual com carga
) e partículas alfa (com carga
), todos com a mesma energia cinética, entram num campo magnético uniforme
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e
. Admita que
e mostre que
.
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em função da distância.
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está descarregando através de uma resistência R. Determine
(a) Em termos da constante de tempo , em que instante a carga no capacitor será metade do seu valor inicial?
(b) Em que instante a energia armazenada no capacitor será igual à metade do seu valor inicial?
© Qual é a energia dissipada no resistor durante a descarga do capacitor? (Reobtenha esta resposta integrando )
(a) Em termos da constante de tempo
(b) Em que instante a energia armazenada no capacitor será igual à metade do seu valor inicial?
© Qual é a energia dissipada no resistor durante a descarga do capacitor? (Reobtenha esta resposta integrando