Considere uma esfera de raio R uniformemente carregada com densidade volumar de carga rho. Calcule o campo eletrostático, dentro e fora, criado por essa esfera utilizando a Lei de Gauss e trace um gráfico de E em função da distância.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma esfera com raio R que está carregada de forma uniforme, ou seja, a carga está distribuída igualmente por todo o volume dela. A densidade de carga é rho. Nosso objetivo aqui é calcular o campo eletrostático ( E) tanto dentro quanto fora dessa esfera usando a Lei de Gauss. Além disso, vamos esboçar um gráfico de E em função da distância r a partir do centro da esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela nos diz que o fluxo elétrico ( PhiE) através de uma superfície fechada é igual à carga total ( Qenc) dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica varepsilon0. A fórmula fica assim:
PhiE = oint E cdot dA = Qencvarepsilon0

Passo 3

Vamos calcular o campo elétrico dentro da esfera primeiro. Imagina que a gente desenha uma superfície gaussiana esférica de raio r menor que R. A carga dentro dessa superfície é proporcional ao volume dessa esfera menor. A carga total na esfera grande é:
Qtotal = rho cdot 43pi R^3
A carga dentro da superfície gaussiana é:
Qenc = rho cdot 43pi r^3

Passo 4

Agora, aplicando a Lei de Gauss:
oint E cdot dA = E cdot 4pi r^2 = rho cdot 43pi r^3varepsilon0
Resolvendo para E:
E = rho r3varepsilon0
Então, dentro da esfera, o campo elétrico cresce linearmente com a distância r.

Passo 5

Agora, vamos calcular o campo elétrico fora da esfera, ou seja, para r >= R. Aqui, a carga dentro da superfície gaussiana é toda a carga da esfera:
Qenc = Qtotal = rho cdot 43pi R^3
Aplicando novamente a Lei de Gauss:
E cdot 4pi r^2 = rho cdot 43pi R^3varepsilon0
Resolvendo para E:
E = rho R^33varepsilon0 r^2
Então, fora da esfera, o campo elétrico diminui com o quadrado da distância r.

Passo 6

Agora que temos as expressões para dentro e fora da esfera, vamos resumir:
  • Dentro da esfera ( r < R):
    E = rho r3varepsilon0
  • Fora da esfera ( r >= R):
    E = rho R^33varepsilon0 r^2
Para o gráfico de E em função de r, a curva começa aumentando linearmente até r = R, e depois decresce seguindo uma curva hiperbólica.

Resposta

O campo eletrostático criado pela esfera carregada é dado por:
E(r) = rho r3varepsilon0, & para r < R rho R^33varepsilon0 r^2, & para r >= R
Isso significa que dentro da esfera, o campo elétrico aumenta proporcionalmente à distância a partir do centro, e fora da esfera, ele diminui com o quadrado da distância.

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