Considere uma esfera de raio
uniformemente carregada com densidade volumar de carga
. Calcule o campo eletrostático, dentro e fora, criado por essa esfera utilizando a Lei de Gauss e trace um gráfico de
em função da distância.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma esfera com raio
que está carregada de forma uniforme, ou seja, a carga está distribuída igualmente por todo o volume dela. A densidade de carga é
. Nosso objetivo aqui é calcular o campo eletrostático (
) tanto dentro quanto fora dessa esfera usando a Lei de Gauss. Além disso, vamos esboçar um gráfico de
em função da distância
a partir do centro da esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela nos diz que o fluxo elétrico (
) através de uma superfície fechada é igual à carga total (
) dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica
. A fórmula fica assim:
Passo 3
Vamos calcular o campo elétrico dentro da esfera primeiro. Imagina que a gente desenha uma superfície gaussiana esférica de raio
menor que
. A carga dentro dessa superfície é proporcional ao volume dessa esfera menor. A carga total na esfera grande é:
A carga dentro da superfície gaussiana é:
Passo 4
Agora, aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para
:
Então, dentro da esfera, o campo elétrico cresce linearmente com a distância
.
Passo 5
Agora, vamos calcular o campo elétrico fora da esfera, ou seja, para
. Aqui, a carga dentro da superfície gaussiana é toda a carga da esfera:
Aplicando novamente a Lei de Gauss:
Resolvendo para
:
Então, fora da esfera, o campo elétrico diminui com o quadrado da distância
.
Passo 6
Agora que temos as expressões para dentro e fora da esfera, vamos resumir:
-
Dentro da esfera (
): -
Fora da esfera (
):
Para o gráfico de
em função de
, a curva começa aumentando linearmente até
, e depois decresce seguindo uma curva hiperbólica.
Resposta
O campo eletrostático criado pela esfera carregada é dado por:
Isso significa que dentro da esfera, o campo elétrico aumenta proporcionalmente à distância a partir do centro, e fora da esfera, ele diminui com o quadrado da distância.