Considere uma esfera de raio uniformemente carregada com densidade volumar de carga . Calcule o campo eletrostático, dentro e fora, criado por essa esfera utilizando a Lei de Gauss e trace um gráfico de em função da distância.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma esfera com raio que está carregada de forma uniforme, ou seja, a carga está distribuída igualmente por todo o volume dela. A densidade de carga é . Nosso objetivo aqui é calcular o campo eletrostático ( ) tanto dentro quanto fora dessa esfera usando a Lei de Gauss. Além disso, vamos esboçar um gráfico de em função da distância a partir do centro da esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela nos diz que o fluxo elétrico ( ) através de uma superfície fechada é igual à carga total ( ) dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica . A fórmula fica assim:

Passo 3

Vamos calcular o campo elétrico dentro da esfera primeiro. Imagina que a gente desenha uma superfície gaussiana esférica de raio menor que . A carga dentro dessa superfície é proporcional ao volume dessa esfera menor. A carga total na esfera grande é:
A carga dentro da superfície gaussiana é:

Passo 4

Agora, aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para :
Então, dentro da esfera, o campo elétrico cresce linearmente com a distância .

Passo 5

Agora, vamos calcular o campo elétrico fora da esfera, ou seja, para . Aqui, a carga dentro da superfície gaussiana é toda a carga da esfera:
Aplicando novamente a Lei de Gauss:
Resolvendo para :
Então, fora da esfera, o campo elétrico diminui com o quadrado da distância .

Passo 6

Agora que temos as expressões para dentro e fora da esfera, vamos resumir:
  • Dentro da esfera ( ):
  • Fora da esfera ( ):
Para o gráfico de em função de , a curva começa aumentando linearmente até , e depois decresce seguindo uma curva hiperbólica.

Resposta

O campo eletrostático criado pela esfera carregada é dado por:
Isso significa que dentro da esfera, o campo elétrico aumenta proporcionalmente à distância a partir do centro, e fora da esfera, ele diminui com o quadrado da distância.

Exercícios relacionados

Um elétron é introduzido em uma das extremidades de um solenóide. Ao penetrar no campo magnético uniforme que existe no interior do solenóide a velocidade do elétron possui magnitude e faz um ângulo com o eixo do solenóide. O solenóide tem espiras e conduz uma corrente . Quantas revoluções o elétron desenvolve no interior do solenóide antes de chegar à outra extremidade? (Resp. )
Prótons, dêuterons (cada qual com carga ) e partículas alfa (com carga ), todos com a mesma energia cinética, entram num campo magnético uniforme que é perpendicular às respectivas velocidades. Os raios das órbitas circulares que descrevem são e . Admita que e mostre que .
Um capacitor de capacitância está descarregando através de uma resistência R. Determine
(a) Em termos da constante de tempo , em que instante a carga no capacitor será metade do seu valor inicial?
(b) Em que instante a energia armazenada no capacitor será igual à metade do seu valor inicial?
© Qual é a energia dissipada no resistor durante a descarga do capacitor? (Reobtenha esta resposta integrando )
Qual é a diferença entre corrente de convecção e corrente de condução?