Considere uma esfera de raio uniformemente carregada com densidade volumar de carga . Calcule o campo eletrostático, dentro e fora, criado por essa esfera utilizando a Lei de Gauss e trace um gráfico de em função da distância.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma esfera com raio que está carregada de forma uniforme, ou seja, a carga está distribuída igualmente por todo o volume dela. A densidade de carga é . Nosso objetivo aqui é calcular o campo eletrostático () tanto dentro quanto fora dessa esfera usando a Lei de Gauss. Além disso, vamos esboçar um gráfico de em função da distância a partir do centro da esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela nos diz que o fluxo elétrico () através de uma superfície fechada é igual à carga total () dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica . A fórmula fica assim:
Passo 3
Vamos calcular o campo elétrico dentro da esfera primeiro. Imagina que a gente desenha uma superfície gaussiana esférica de raio menor que . A carga dentro dessa superfície é proporcional ao volume dessa esfera menor. A carga total na esfera grande é:
A carga dentro da superfície gaussiana é:
Passo 4
Agora, aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para :
Então, dentro da esfera, o campo elétrico cresce linearmente com a distância .
Passo 5
Agora, vamos calcular o campo elétrico fora da esfera, ou seja, para . Aqui, a carga dentro da superfície gaussiana é toda a carga da esfera:
Aplicando novamente a Lei de Gauss:
Resolvendo para :
Então, fora da esfera, o campo elétrico diminui com o quadrado da distância .
Passo 6
Agora que temos as expressões para dentro e fora da esfera, vamos resumir:
Dentro da esfera ():
Fora da esfera ():
Para o gráfico de em função de , a curva começa aumentando linearmente até , e depois decresce seguindo uma curva hiperbólica.
Resposta
O campo eletrostático criado pela esfera carregada é dado por:
Isso significa que dentro da esfera, o campo elétrico aumenta proporcionalmente à distância a partir do centro, e fora da esfera, ele diminui com o quadrado da distância.