Um capacitor com carga inicial q0 é descarregado através de um resistor. Em termos da constante de tempo tau qual o tempo necessário para que o capacitor perca (a) a primeira terça parte de sua carga

Passo 1

Vamos lá! O exercício fala sobre um capacitor que tem uma carga inicial e está sendo descarregado através de um resistor. A gente vai usar o conceito de constante de tempo ( ) para descobrir quanto tempo leva para o capacitor perder a primeira terça parte da sua carga. Para resolver isso, vamos precisar entender como a carga do capacitor diminui ao longo do tempo em um circuito RC.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação que descreve como a carga q(t) = q0 , e^-ttau de um capacitor descarregado por um resistor varia com o tempo:
Aqui, é a base dos logaritmos naturais, é o tempo, e é a constante de tempo do circuito.

Passo 3

Queremos saber em quanto tempo q(t) = 23 q0 a carga do capacitor cai para dois terços da carga inicial, ou seja:
23 q0 = q0 , e^-ttau
Vamos substituir isso na equação da carga:

Passo 4

Agora, podemos simplificar dividindo os dois lados por 23 = e^-ttau :
ln(23) = -ttau
Para resolver para , vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados:

Passo 5

Isolando t = -tau ln(23) , temos:
t = tau ln(32)
Sabendo que , podemos simplificar:

Resposta

O tempo necessário para que o capacitor perca a primeira terça parte de sua carga é:
t = tau ln(32)

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