Um capacitor de é carregado por uma bateria que fornece 40 V. Em seguida, o capacitor é descarregado através de um indutor de indutância igual a 10 mH e resistência desprezível. Obtenha uma expressão para a corrente no circuito e faça um gráfico representando o comportamento da corrente em função do tempo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um capacitor de carregado com uma bateria de 40 V. Depois, esse capacitor é descarregado através de um indutor de e resistência desprezível. Vamos usar conceitos de circuitos elétricos, especificamente de circuitos LC (indutor e capacitor), para encontrar a expressão da corrente ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece quando um capacitor descarrega através de um indutor. Nesse caso, como não há resistência, temos um circuito oscillatório puro, onde a energia oscila entre o campo elétrico do capacitor e o campo magnético do indutor.

Passo 3

A equação que descreve esse tipo de circuito é dada pela segunda lei de Kirchhoff para circuitos de corrente alternada. Para um circuito LC, a equação diferencial é:
L dI(t)dt + 1C integral I(t) dt = 0
Mas uma forma mais simples de pensar nisso é usando a equação do harmônico simples:
d^2Q(t)dt^2 + 1LC Q(t) = 0
Onde é a carga no capacitor em função do tempo.

Passo 4

Sabendo que a solução dessa equação diferencial é uma função sinusoidal, podemos escrever a corrente I(t) = I0 cos(omega t) como:
Onde:
  • é a amplitude da corrente.
  • é a frequência angular do circuito.

Passo 5

Vamos calcular a frequência angular omega = 1raizLC . Ela é dada por:
omega = 1raiz10 times 10^-3 times 1 times 10^-6 = 1raiz10^-8 = 110^-4 = 10^4,rad/s
Substituindo os valores:
Então:

Passo 6

Agora, precisamos encontrar a amplitude Q0 = C times V = 1 times 10^-6,F times 40,V = 40 times 10^-6,C . No instante inicial ( I0 = omega Q0 = 10^4 times 40 times 10^-6 = 0.4,A ), toda a carga está no capacitor e a corrente é máxima. A carga inicial no capacitor é:
A corrente máxima está relacionada com a taxa de variação da carga:

Passo 7

Com esses valores, a expressão para a corrente é:
I(t) = 0.4,A times cos(10^4,t)

Passo 8

Para visualizar como a corrente varia com o tempo, podemos imaginar um gráfico de uma função cossenoidal com amplitude de 0.4 A e frequência angular de . Isso significa que a corrente oscila rapidamente entre +0.4 A e -0.4 A.

Resposta

A corrente no circuito é dada por:
I(t) = 0.4,A times cos(10^4,t)
Esse gráfico mostra oscilações rápidas da corrente entre +0.4 A e -0.4 A ao longo do tempo.

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