Um capacitor de
é carregado por uma bateria que fornece 40 V. Em seguida, o capacitor é descarregado através de um indutor de indutância igual a 10 mH e resistência desprezível. Obtenha uma expressão para a corrente
no circuito e faça um gráfico representando o comportamento da corrente
em função do tempo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um capacitor de
carregado com uma bateria de 40 V. Depois, esse capacitor é descarregado através de um indutor de
e resistência desprezível. Vamos usar conceitos de circuitos elétricos, especificamente de circuitos LC (indutor e capacitor), para encontrar a expressão da corrente
ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que acontece quando um capacitor descarrega através de um indutor. Nesse caso, como não há resistência, temos um circuito oscillatório puro, onde a energia oscila entre o campo elétrico do capacitor e o campo magnético do indutor.
Passo 3
A equação que descreve esse tipo de circuito é dada pela segunda lei de Kirchhoff para circuitos de corrente alternada. Para um circuito LC, a equação diferencial é:
Mas uma forma mais simples de pensar nisso é usando a equação do harmônico simples:
Onde
é a carga no capacitor em função do tempo.
Passo 4
Sabendo que a solução dessa equação diferencial é uma função sinusoidal, podemos escrever a corrente
como:
Onde:
-
é a amplitude da corrente. -
é a frequência angular do circuito.
Passo 5
Vamos calcular a frequência angular
. Ela é dada por:
Substituindo os valores:
Então:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar a amplitude
. No instante inicial (
), toda a carga está no capacitor e a corrente é máxima. A carga inicial
no capacitor é:
A corrente máxima
está relacionada com a taxa de variação da carga:
Passo 7
Com esses valores, a expressão para a corrente é:
Passo 8
Para visualizar como a corrente varia com o tempo, podemos imaginar um gráfico de uma função cossenoidal com amplitude de 0.4 A e frequência angular de
. Isso significa que a corrente oscila rapidamente entre +0.4 A e -0.4 A.
Resposta
A corrente no circuito é dada por:
Esse gráfico mostra oscilações rápidas da corrente entre +0.4 A e -0.4 A ao longo do tempo.