Um capacitor cilíndrico imerso no ar possui comprimento de
e armazena energia de
quando a diferença de potencial entre os condutores é igual a
.
(b) Calcule a razão entre o raio do condutor interno e o raio do condutor externo.
(b) Calcule a razão entre o raio do condutor interno e o raio do condutor externo.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um capacitor cilíndrico com comprimento de
que armazena uma energia de
quando a diferença de potencial entre os condutores é
. Queremos calcular a razão entre o raio do condutor interno (
) e o raio do condutor externo (
).
Matéria envolvida: Capacitores cilíndricos, energia armazenada em um capacitor, fórmulas de capacitância.
O que vamos precisar: Fórmulas para a energia armazenada em um capacitor e para a capacitância de um capacitor cilíndrico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da energia armazenada em um capacitor:
Onde:
-
é a energia armazenada, -
é a capacitância, -
é a diferença de potencial.
Vamos rearranjar essa fórmula para encontrar a capacitância
:
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula da capacitância para um capacitor cilíndrico. A capacitância
de um capacitor cilíndrico é dada por:
Onde:
-
é a permissividade do ar ( ), -
é o comprimento do capacitor, -
é o raio do condutor interno, -
é o raio do condutor externo.
Passo 4
Agora, temos duas expressões para a capacitância
. Podemos igualá-las:
Vamos simplificar essa equação. Podemos cancelar o
dos dois lados:
Passo 5
Nosso objetivo é encontrar a razão
. Vamos isolar o logaritmo natural na equação:
Então, exponenciando ambos os lados para se livrar do logaritmo:
Portanto, a razão
será:
Passo 6
Vamos agora substituir os valores fornecidos na equação:
Substituindo na fórmula:
Passo 7
Vamos calcular o valor dentro do expoente passo a passo:
- Calcular
:
- Multiplicar
:
- Dividir pelo valor de
:
- Aplicar o sinal negativo:
Passo 8
Agora, substituímos o valor calculado no expoente:
Resposta
A razão entre o raio do condutor interno e o raio do condutor externo é aproximadamente
.