Um capacitor cilíndrico imerso no ar possui comprimento de e armazena energia de quando a diferença de potencial entre os condutores é igual a .
(b) Calcule a razão entre o raio do condutor interno e o raio do condutor externo.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um capacitor cilíndrico com comprimento de que armazena uma energia de quando a diferença de potencial entre os condutores é . Queremos calcular a razão entre o raio do condutor interno ( ) e o raio do condutor externo ( ).
Matéria envolvida: Capacitores cilíndricos, energia armazenada em um capacitor, fórmulas de capacitância.
O que vamos precisar: Fórmulas para a energia armazenada em um capacitor e para a capacitância de um capacitor cilíndrico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da energia armazenada em um capacitor:
Onde:
  • é a energia armazenada,
  • é a capacitância,
  • é a diferença de potencial.
Vamos rearranjar essa fórmula para encontrar a capacitância :

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula da capacitância para um capacitor cilíndrico. A capacitância de um capacitor cilíndrico é dada por:
Onde:
  • é a permissividade do ar ( ),
  • é o comprimento do capacitor,
  • é o raio do condutor interno,
  • é o raio do condutor externo.

Passo 4

Agora, temos duas expressões para a capacitância . Podemos igualá-las:
Vamos simplificar essa equação. Podemos cancelar o dos dois lados:

Passo 5

Nosso objetivo é encontrar a razão . Vamos isolar o logaritmo natural na equação:
Então, exponenciando ambos os lados para se livrar do logaritmo:
Portanto, a razão será:

Passo 6

Vamos agora substituir os valores fornecidos na equação:
Substituindo na fórmula:

Passo 7

Vamos calcular o valor dentro do expoente passo a passo:
  1. Calcular :
  1. Multiplicar :
  1. Dividir pelo valor de :
  1. Aplicar o sinal negativo:

Passo 8

Agora, substituímos o valor calculado no expoente:

Resposta

A razão entre o raio do condutor interno e o raio do condutor externo é aproximadamente .

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na equação de Schrödinger independente do tempo:
e prove que o valor da energia é dado por:
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(SOLUÇÃO DE QUESTÃO ANÁLOGA EM ANEXO NA ÚLTIMA PÁGINA)
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