Um capacitor cilíndrico imerso no ar possui comprimento de 15,0 m e armazena energia de 3,20 times 10^-9 J quando a diferença de potencial entre os condutores é igual a 4,00 V.
(b) Calcule a razão entre o raio do condutor interno e o raio do condutor externo.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um capacitor cilíndrico com comprimento de que armazena uma energia de quando a diferença de potencial entre os condutores é . Queremos calcular a razão entre o raio do condutor interno ( ) e o raio do condutor externo ( ).
Matéria envolvida: Capacitores cilíndricos, energia armazenada em um capacitor, fórmulas de capacitância.
O que vamos precisar: Fórmulas para a energia armazenada em um capacitor e para a capacitância de um capacitor cilíndrico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da energia armazenada em um capacitor:
U = 12 C V^2
Onde:
  • C = 2UV^2 é a energia armazenada,
  • é a capacitância,
  • é a diferença de potencial.
Vamos rearranjar essa fórmula para encontrar a capacitância :

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula da capacitância para um capacitor cilíndrico. A capacitância C = 2pivarepsilon Lln(r2r1) de um capacitor cilíndrico é dada por:
Onde:
  • é a permissividade do ar ( ),
  • é o comprimento do capacitor,
  • é o raio do condutor interno,
  • é o raio do condutor externo.

Passo 4

Agora, temos duas expressões para a capacitância 2UV^2 = 2pivarepsilon Lln(r2r1) . Podemos igualá-las:
UV^2 = pivarepsilon Lln(r2r1)
Vamos simplificar essa equação. Podemos cancelar o dos dois lados:

Passo 5

Nosso objetivo é encontrar a razão ln(r2r1) = pivarepsilon L V^2U . Vamos isolar o logaritmo natural na equação:
r2r1 = exp(pivarepsilon L V^2U)
Então, exponenciando ambos os lados para se livrar do logaritmo:
r1r2 = exp(-pivarepsilon L V^2U)
Portanto, a razão será:

Passo 6

Vamos agora substituir os valores fornecidos na equação:
  • r1r2 = exp(-pi times 8,85 times 10^-12 , F/m times 15,0 , m times (4,00 , V)^23,20 times 10^-9 , J)
Substituindo na fórmula:

Passo 7

Vamos calcular o valor dentro do expoente passo a passo:
  1. Calcular (4,00 , V)^2 = 16,00 , V^2 :
pi times 8,85 times 10^-12 , F/m times 15,0 , m times 16,00 , V^2 approx 6,718 times 10^-9 , F cdot V^2
  1. Multiplicar 6,718 times 10^-93,20 times 10^-9 approx 2,10 :
-2,10
  1. Dividir pelo valor de :
  1. Aplicar o sinal negativo:

Passo 8

Agora, substituímos o valor calculado no expoente:
r1r2 = exp(-2,10) approx 0,1225

Resposta

A razão entre o raio do condutor interno e o raio do condutor externo é aproximadamente .

Exercícios relacionados