Substitua a seguinte função de onda:
psin(x)=raiz2a sin (n pi xa), n=1,2,3, ldots
na equação de Schrödinger independente do tempo:
-hbar^22 m d^2 psin(x)d x^2=En psin(x)
e prove que o valor da energia é dado por:
En=n^2 pi^2 hbar^22 m a^2, n=1,2,3, ldots

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de onda psin(x) e queremos substituí-la na equação de Schrödinger independente do tempo para encontrar a energia En. Isso envolve conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre partículas em uma caixa ou poço de potencial infinito. Vamos precisar usar derivadas da função de onda e conhecer a forma da equação de Schrödinger.

Passo 2

Vamos começar substituindo psin(x) na equação de Schrödinger. A função dada é:
psin(x)=raiz2a sin (n pi xa)
Substituindo na equação:
-hbar^22 m d^2dx^2 [ raiz2a sin (n pi xa) ] = En raiz2a sin (n pi xa)

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada da função de onda em relação a x. Sabemos que:
ddx sin(kx) = k cos(kx)
e
d^2dx^2 sin(kx) = -k^2 sin(kx)
No nosso caso, k = npia.

Passo 4

Aplicando a segunda derivada:
d^2 psin(x)dx^2 = raiz2a cdot (-(n pia)^2) sin (n pi xa) = -(n^2 pi^2a^2) psin(x)

Passo 5

Substituindo a segunda derivada na equação de Schrödinger:
-hbar^22 m cdot (-n^2 pi^2a^2) psin(x) = En psin(x)
Simplificando os sinais:
hbar^2 n^2 pi^22 m a^2 psin(x) = En psin(x)

Passo 6

Observando que psin(x) aparece nos dois lados da equação e não é zero, podemos cancelar:
En = n^2 pi^2 hbar^22 m a^2

Resposta

A energia está quantizada e é dada por:
En=n^2 pi^2 hbar^22 m a^2, n=1,2,3, ldots

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