Substitua a seguinte função de onda:
na equação de Schrödinger independente do tempo:
e prove que o valor da energia é dado por:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de onda
e queremos substituí-la na equação de Schrödinger independente do tempo para encontrar a energia
. Isso envolve conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre partículas em uma caixa ou poço de potencial infinito. Vamos precisar usar derivadas da função de onda e conhecer a forma da equação de Schrödinger.
Passo 2
Vamos começar substituindo
na equação de Schrödinger. A função dada é:
Substituindo na equação:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada da função de onda em relação a
. Sabemos que:
e
No nosso caso,
.
Passo 4
Aplicando a segunda derivada:
Passo 5
Substituindo a segunda derivada na equação de Schrödinger:
Simplificando os sinais:
Passo 6
Observando que
aparece nos dois lados da equação e não é zero, podemos cancelar:
Resposta
A energia está quantizada e é dada por: