Um capacitor cilíndrico muito longo, de comprimento
, é constituído de duas cascas cilíndricas concêntricas. A casca interna possui raio
e casca externa possui raio
, com
. A casca interna está carregada com uma carga
e a casca externa com uma carga
. O espaço entre as cascas é preenchido com um material dielétrico de constante dielétrica
.
(a) Calcule a energia potencial elétrica
armazenada neste capacitor utilizando a capacitância
do sistema. (Determine C antes de calcular U ).
(b) Calcule a energia potencial elétrica
do capacitor integrando a densidade de energia do campo elétrico no espaço entre as cascas cilíndricas.
(a) Calcule a energia potencial elétrica
(b) Calcule a energia potencial elétrica
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos um capacitor cilíndrico muito longo com duas cascas concêntricas. A casca interna de raio
está carregada com
e a casca externa de raio
com
. O espaço entre as cascas é preenchido por um material dielétrico com constante
. Precisamos calcular a energia potencial elétrica
armazenada neste capacitor de duas maneiras: (a) utilizando a capacitância
do sistema e (b) integrando a densidade de energia do campo elétrico no espaço entre as cascas.
Conteúdo da matéria: Eletrostática, capacitores cilíndricos, capacitância com dielétrico, energia armazenada em capacitores, campo elétrico, densidade de energia.
O que vamos precisar: Fórmulas para capacitância de um capacitor cilíndrico com dielétrico, expressão da energia armazenada
em termos de capacitância e carga, e a fórmula para densidade de energia do campo elétrico.
Passo 2
Parte (a): Calcular a energia potencial elétrica
usando a capacitância
do sistema.
Primeiro, vamos determinar a capacitância
do capacitor cilíndrico com dielétrico. A fórmula para a capacitância de um capacitor cilíndrico longo é:
Onde:
-
é a constante dielétrica, -
é a permissividade do vácuo ( ), -
é o comprimento do capacitor, -
e são os raios das cascas interna e externa, respectivamente.
Passo 3
Agora que temos a capacitância
, podemos calcular a energia potencial elétrica
armazenada no capacitor. A energia armazenada em um capacitor pode ser calculada pela fórmula:
Onde
é a carga armazenada no capacitor. Substituindo a expressão de
que encontramos:
Passo 4
Parte (b): Calcular a energia potencial elétrica
do capacitor integrando a densidade de energia do campo elétrico.
A densidade de energia
do campo elétrico é dada por:
Onde
é a permissividade do meio dielétrico e
é o campo elétrico. Para um capacitor cilíndrico, o campo elétrico entre as cascas é:
Substituindo na expressão da densidade de energia:
Para encontrar a energia total
, integramos
sobre o volume entre as cascas cilíndricas:
Resolvendo a integral:
Resposta
A energia potencial elétrica armazenada no capacitor é:
Exercícios relacionados
O elemento ACD é suportado por junções de rótula nos pontos
e
, e por um cabo que passa através de um anel em B e é preso em ganchos em G e H. Sabendo que o elemento sustenta uma foça
em C, determine a tensão no cabo.
Resposta: 448,0N
Resposta: 448,0N
Durante a primeira fase do projeto de uma usina de geração de energia elétrica, os engenheiros da equipe de avaliação de impactos ambientais procuram saber se esse projeto está de acordo com as normas ambientais. A nova planta estará localizada a beira de um rio, cuja temperatura média da água é de
, e usará a sua água somente para refrigeração. O projeto pretende que a usina opere com 1,0 MW de potência elétrica e, em razão de restrições técnicas, o dobro dessa potência será dissipada por seu sistema de arrefecimento, na forma de calor. Para atender a resolução número 430, de 13 de maio de 2011, do Conselho Nacional do Meio Ambiente, com uma ampla margem de segurança, os engenheiros determinaram que a água só poderá ser devolvida ao rio com um aumento de temperatura de, no máximo,
em relação à temperatura da água do rio captada pelo sistema de arrefecimento. Considere o calor específico da água igual a
. Para atender essa determinação, o valor mínimo do fluxo de água, em
, para a refrigeração da usina deve ser mais próximo de
a) 42 .
b) 84 .
c) 167 .
d) 250 .
e) 500 .
a) 42 .
b) 84 .
c) 167 .
d) 250 .
e) 500 .
Considere uma prensa hidráulica dotada de dois êmbolos (1) e (2), de áreas
e
, respectivamente, tal que
. Para levantar um corpo de massa
no êmbolo (1), emprega-se em (2) uma força
, que faz com que esse corpo suba de uma altura
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Escolha uma opção:a. é maior no êmbolo de área b. as informações fornecidas no enunciado são insuficientes para responder à questãoC. é maior no êmbolo de área
d. é o mesmo nos dois êmbolose. a força não realiza trabalho
Escolha uma opção:a. é maior no êmbolo de área
d. é o mesmo nos dois êmbolose. a força
Um bloco com massa
é preso em uma mola que está fixa ao teto. Logo em seguida, mola se move de
da sua posição de equilibrio e fica em repouso novamente. Um peso adicional de
é fixo ao primeiro peso. Qual o deslocamento total da mola?