Um capacitor cilíndrico muito longo, de comprimento , é constituído de duas cascas cilíndricas concêntricas. A casca interna possui raio e casca externa possui raio , com . A casca interna está carregada com uma carga e a casca externa com uma carga . O espaço entre as cascas é preenchido com um material dielétrico de constante dielétrica .
(a) Calcule a energia potencial elétrica armazenada neste capacitor utilizando a capacitância do sistema. (Determine C antes de calcular U ).
(b) Calcule a energia potencial elétrica do capacitor integrando a densidade de energia do campo elétrico no espaço entre as cascas cilíndricas.

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos um capacitor cilíndrico muito longo com duas cascas concêntricas. A casca interna de raio está carregada com e a casca externa de raio com . O espaço entre as cascas é preenchido por um material dielétrico com constante . Precisamos calcular a energia potencial elétrica armazenada neste capacitor de duas maneiras: (a) utilizando a capacitância do sistema e (b) integrando a densidade de energia do campo elétrico no espaço entre as cascas.
Conteúdo da matéria: Eletrostática, capacitores cilíndricos, capacitância com dielétrico, energia armazenada em capacitores, campo elétrico, densidade de energia.
O que vamos precisar: Fórmulas para capacitância de um capacitor cilíndrico com dielétrico, expressão da energia armazenada em termos de capacitância e carga, e a fórmula para densidade de energia do campo elétrico.

Passo 2

Parte (a): Calcular a energia potencial elétrica usando a capacitância do sistema.
Primeiro, vamos determinar a capacitância do capacitor cilíndrico com dielétrico. A fórmula para a capacitância de um capacitor cilíndrico longo é:
Onde:
  • é a constante dielétrica,
  • é a permissividade do vácuo ( ),
  • é o comprimento do capacitor,
  • e são os raios das cascas interna e externa, respectivamente.

Passo 3

Agora que temos a capacitância , podemos calcular a energia potencial elétrica armazenada no capacitor. A energia armazenada em um capacitor pode ser calculada pela fórmula:
Onde é a carga armazenada no capacitor. Substituindo a expressão de que encontramos:

Passo 4

Parte (b): Calcular a energia potencial elétrica do capacitor integrando a densidade de energia do campo elétrico.
A densidade de energia do campo elétrico é dada por:
Onde é a permissividade do meio dielétrico e é o campo elétrico. Para um capacitor cilíndrico, o campo elétrico entre as cascas é:
Substituindo na expressão da densidade de energia:
Para encontrar a energia total , integramos sobre o volume entre as cascas cilíndricas:
Resolvendo a integral:

Resposta

A energia potencial elétrica armazenada no capacitor é:

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