Um capacitor cilíndrico muito longo, de comprimento
, é constituído de duas cascas cilíndricas concêntricas. A casca interna possui raio
e casca externa possui raio
, com
. A casca interna está carregada com uma carga
e a casca externa com uma carga
. O espaço entre as cascas é preenchido com um material dielétrico de constante dielétrica
.
(a) Calcule a energia potencial elétrica
armazenada neste capacitor utilizando a capacitância
do sistema. (Determine C antes de calcular U ).
(b) Calcule a energia potencial elétrica
do capacitor integrando a densidade de energia do campo elétrico no espaço entre as cascas cilíndricas.
(a) Calcule a energia potencial elétrica
(b) Calcule a energia potencial elétrica
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos um capacitor cilíndrico muito longo com duas cascas concêntricas. A casca interna de raio
está carregada com
e a casca externa de raio
com
. O espaço entre as cascas é preenchido por um material dielétrico com constante
. Precisamos calcular a energia potencial elétrica
armazenada neste capacitor de duas maneiras: (a) utilizando a capacitância
do sistema e (b) integrando a densidade de energia do campo elétrico no espaço entre as cascas.
Conteúdo da matéria: Eletrostática, capacitores cilíndricos, capacitância com dielétrico, energia armazenada em capacitores, campo elétrico, densidade de energia.
O que vamos precisar: Fórmulas para capacitância de um capacitor cilíndrico com dielétrico, expressão da energia armazenada
em termos de capacitância e carga, e a fórmula para densidade de energia do campo elétrico.
Passo 2
Parte (a): Calcular a energia potencial elétrica
usando a capacitância
do sistema.
Primeiro, vamos determinar a capacitância
do capacitor cilíndrico com dielétrico. A fórmula para a capacitância de um capacitor cilíndrico longo é:
Onde:
-
é a constante dielétrica, -
é a permissividade do vácuo ( ), -
é o comprimento do capacitor, -
e são os raios das cascas interna e externa, respectivamente.
Passo 3
Agora que temos a capacitância
, podemos calcular a energia potencial elétrica
armazenada no capacitor. A energia armazenada em um capacitor pode ser calculada pela fórmula:
Onde
é a carga armazenada no capacitor. Substituindo a expressão de
que encontramos:
Passo 4
Parte (b): Calcular a energia potencial elétrica
do capacitor integrando a densidade de energia do campo elétrico.
A densidade de energia
do campo elétrico é dada por:
Onde
é a permissividade do meio dielétrico e
é o campo elétrico. Para um capacitor cilíndrico, o campo elétrico entre as cascas é:
Substituindo na expressão da densidade de energia:
Para encontrar a energia total
, integramos
sobre o volume entre as cascas cilíndricas:
Resolvendo a integral:
Resposta
A energia potencial elétrica armazenada no capacitor é: