Um capacitor cilíndrico muito longo, de comprimento L, é constituído de duas cascas cilíndricas concêntricas. A casca interna possui raio ra e casca externa possui raio rb, com (ra . A casca interna está carregada com uma carga +Q e a casca externa com uma carga -Q. O espaço entre as cascas é preenchido com um material dielétrico de constante dielétrica kappa.
(a) Calcule a energia potencial elétrica U armazenada neste capacitor utilizando a capacitância C do sistema. (Determine C antes de calcular U ).
(b) Calcule a energia potencial elétrica U do capacitor integrando a densidade de energia do campo elétrico no espaço entre as cascas cilíndricas.

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos um capacitor cilíndrico muito longo com duas cascas concêntricas. A casca interna de raio está carregada com e a casca externa de raio com . O espaço entre as cascas é preenchido por um material dielétrico com constante . Precisamos calcular a energia potencial elétrica armazenada neste capacitor de duas maneiras: (a) utilizando a capacitância do sistema e (b) integrando a densidade de energia do campo elétrico no espaço entre as cascas.
Conteúdo da matéria: Eletrostática, capacitores cilíndricos, capacitância com dielétrico, energia armazenada em capacitores, campo elétrico, densidade de energia.
O que vamos precisar: Fórmulas para capacitância de um capacitor cilíndrico com dielétrico, expressão da energia armazenada em termos de capacitância e carga, e a fórmula para densidade de energia do campo elétrico.

Passo 2

Parte (a): Calcular a energia potencial elétrica C = 2 pi kappa epsilon0 Lln(rbra) usando a capacitância do sistema.
Primeiro, vamos determinar a capacitância do capacitor cilíndrico com dielétrico. A fórmula para a capacitância de um capacitor cilíndrico longo é:
Onde:
  • é a constante dielétrica,
  • é a permissividade do vácuo ( ),
  • é o comprimento do capacitor,
  • e são os raios das cascas interna e externa, respectivamente.

Passo 3

Agora que temos a capacitância U = Q^22C , podemos calcular a energia potencial elétrica U = Q^22 ( 2 pi kappa epsilon0 Lln(rbra) ) = Q^2 ln(rbra)4 pi kappa epsilon0 L armazenada no capacitor. A energia armazenada em um capacitor pode ser calculada pela fórmula:
Onde é a carga armazenada no capacitor. Substituindo a expressão de que encontramos:

Passo 4

Parte (b): Calcular a energia potencial elétrica u = 12 epsilon E^2 do capacitor integrando a densidade de energia do campo elétrico.
A densidade de energia E(r) = Q2 pi kappa epsilon0 L r do campo elétrico é dada por:
u(r) = 12 kappa epsilon0 ( Q2 pi kappa epsilon0 L r )^2 = Q^28 pi^2 kappa epsilon0 L^2 r^2
Onde U = integralV u(r) , dV = integral0^L integralra^rb integral0^2pi Q^28 pi^2 kappa epsilon0 L^2 r^2 r , dtheta , dr , dz é a permissividade do meio dielétrico e U = Q^28 pi^2 kappa epsilon0 L^2 cdot 2pi L integralra^rb 1r , dr = Q^2 ln(rbra)4 pi kappa epsilon0 L é o campo elétrico. Para um capacitor cilíndrico, o campo elétrico entre as cascas é:
Substituindo na expressão da densidade de energia:
Para encontrar a energia total , integramos sobre o volume entre as cascas cilíndricas:
Resolvendo a integral:

Resposta

A energia potencial elétrica armazenada no capacitor é:
U = Q^2 ln(rbra)4 pi kappa epsilon0 L

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