Um capacitor cilíndrico tem raio interno a e raio externo b. Mostre que metade da energia potencial elétrica armazenada está dentro de um cilindro cujo raio é :
. Dica: Lembre-se de que a energia armazenada é dada por:
, onde
é a densidade de energia armazenada por unidade de volume, e onde
.
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é um capacitor cilíndrico com raio interno
e raio externo
. A matéria envolvida é eletrostática, mais especificamente sobre a energia potencial elétrica armazenada em capacitores. A gente vai precisar usar a fórmula da energia armazenada
, onde
é a densidade de energia por unidade de volume e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a densidade de energia elétrica
em um campo elétrico é dada por:
Onde
é a permissividade do vácuo e
é o campo elétrico.
Passo 3
No caso de um capacitor cilíndrico, o campo elétrico
em função do raio
é:
Onde
é a densidade linear de carga e
está entre
e
.
Passo 4
Substituindo
na expressão de
, temos:
Passo 5
Agora, vamos expressar a energia potencial elétrica armazenada dentro de um cilindro de raio
:
Simplificando a integral:
Passo 6
A energia total armazenada no capacitor cilíndrico entre
e
é:
Passo 7
Queremos encontrar o raio
que contém metade da energia total. Então, igualamos
:
Simplificando:
Isso confirma que
contém metade da energia armazenada.
Resposta
Assim, mostramos que metade da energia potencial elétrica armazenada está dentro de um cilindro com raio
.