Um capacitor cilíndrico tem raio interno a e raio externo b. Mostre que metade da energia potencial elétrica armazenada está dentro de um cilindro cujo raio é : . Dica: Lembre-se de que a energia armazenada é dada por: , onde é a densidade de energia armazenada por unidade de volume, e onde .

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é um capacitor cilíndrico com raio interno e raio externo . A matéria envolvida é eletrostática, mais especificamente sobre a energia potencial elétrica armazenada em capacitores. A gente vai precisar usar a fórmula da energia armazenada , onde é a densidade de energia por unidade de volume e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a densidade de energia elétrica em um campo elétrico é dada por:
Onde é a permissividade do vácuo e é o campo elétrico.

Passo 3

No caso de um capacitor cilíndrico, o campo elétrico em função do raio é:
Onde é a densidade linear de carga e está entre e .

Passo 4

Substituindo na expressão de , temos:

Passo 5

Agora, vamos expressar a energia potencial elétrica armazenada dentro de um cilindro de raio :
Simplificando a integral:

Passo 6

A energia total armazenada no capacitor cilíndrico entre e é:

Passo 7

Queremos encontrar o raio que contém metade da energia total. Então, igualamos :
Simplificando:
Isso confirma que contém metade da energia armazenada.

Resposta

Assim, mostramos que metade da energia potencial elétrica armazenada está dentro de um cilindro com raio .

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Explicar:
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