Um capacitor cilíndrico tem raio interno a e raio externo b. Mostre que metade da energia potencial elétrica armazenada está dentro de um cilindro cujo raio é : r=raiza b. Dica: Lembre-se de que a energia armazenada é dada por: U(r)=integral uE d V, onde uE é a densidade de energia armazenada por unidade de volume, e onde d V=2 pi r L d r.

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é um capacitor cilíndrico com raio interno e raio externo . A matéria envolvida é eletrostática, mais especificamente sobre a energia potencial elétrica armazenada em capacitores. A gente vai precisar usar a fórmula da energia armazenada , onde é a densidade de energia por unidade de volume e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a densidade de energia elétrica uE = 12 varepsilon0 E^2 em um campo elétrico é dada por:
Onde é a permissividade do vácuo e é o campo elétrico.

Passo 3

No caso de um capacitor cilíndrico, o campo elétrico E(r) = lambda2 pi varepsilon0 r em função do raio é:
Onde é a densidade linear de carga e está entre e .

Passo 4

Substituindo uE = 12 varepsilon0 ( lambda2 pi varepsilon0 r )^2 = lambda^28 pi^2 varepsilon0 r^2 na expressão de , temos:

Passo 5

Agora, vamos expressar a energia potencial elétrica armazenada dentro de um cilindro de raio U(r) = integrala^r uE , dV = integrala^r lambda^28 pi^2 varepsilon0 r^2 cdot 2 pi r L , dr :
U(r) = lambda^2 L4 pi varepsilon0 integrala^r 1r , dr = lambda^2 L4 pi varepsilon0 ln ( ra )
Simplificando a integral:

Passo 6

A energia total armazenada no capacitor cilíndrico entre Utotal = lambda^2 L4 pi varepsilon0 ln ( ba ) e é:

Passo 7

Queremos encontrar o raio lambda^2 L4 pi varepsilon0 ln ( raiza ba ) = 12 cdot lambda^2 L4 pi varepsilon0 ln ( ba ) que contém metade da energia total. Então, igualamos ln ( raizba ) = 12 ln ( ba ) :
Simplificando:
Isso confirma que contém metade da energia armazenada.

Resposta

Assim, mostramos que metade da energia potencial elétrica armazenada está dentro de um cilindro com raio .

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