Um capacitor cilíndrico tem raio interno a e raio externo b. Mostre que metade da energia potencial elétrica armazenada está dentro de um cilindro cujo raio é :
. Dica: Lembre-se de que a energia armazenada é dada por:
, onde
é a densidade de energia armazenada por unidade de volume, e onde
.
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é um capacitor cilíndrico com raio interno
e raio externo
. A matéria envolvida é eletrostática, mais especificamente sobre a energia potencial elétrica armazenada em capacitores. A gente vai precisar usar a fórmula da energia armazenada
, onde
é a densidade de energia por unidade de volume e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a densidade de energia elétrica
em um campo elétrico é dada por:
Onde
é a permissividade do vácuo e
é o campo elétrico.
Passo 3
No caso de um capacitor cilíndrico, o campo elétrico
em função do raio
é:
Onde
é a densidade linear de carga e
está entre
e
.
Passo 4
Substituindo
na expressão de
, temos:
Passo 5
Agora, vamos expressar a energia potencial elétrica armazenada dentro de um cilindro de raio
:
Simplificando a integral:
Passo 6
A energia total armazenada no capacitor cilíndrico entre
e
é:
Passo 7
Queremos encontrar o raio
que contém metade da energia total. Então, igualamos
:
Simplificando:
Isso confirma que
contém metade da energia armazenada.
Resposta
Assim, mostramos que metade da energia potencial elétrica armazenada está dentro de um cilindro com raio
.
Exercícios relacionados
Um disco tem um raio
. A densidade superficial de cargas é
entre
e
e 8,00
entre
e
. (a) Qual é a carga total do disco? (b) Com
no infinito, qual é o potencial elétrico em um ponto sobre o eixo central do disco a uma distância
do centro do disco?
Um imã estả perto de uma bobina de fio. A chave, S1, está inicialmente aberta. Quando a chave estiver fechada, haverá umá corrente induzida na bobina?
Explicar:
Explicar:
Seja um circuito no qual
está em paralelo com
, e ambos estão em série com
. Considere que
e sendo
a diferença de potencial total. Se o capacitor
falhar, tornando-se equivalente a um caminho condutor, responda: a) qual será a variação sobre a carga no capacitor
? b) qual será a variação sobre a diferença de potencial no capacitor
?
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do seu valor original. (e) Duplicar a diferença de potencial entre as placas. (f) Inclinar uma das placas de modo que a separação permaneça d numa das extremidades, mas passe a d/2 na outra. Justifique suas respostas.