Um disco tem um raio . A densidade superficial de cargas é entre e e 8,00 entre e . (a) Qual é a carga total do disco? (b) Com no infinito, qual é o potencial elétrico em um ponto sobre o eixo central do disco a uma distância do centro do disco?

Passo 1

Vamos resolver um exercício de eletrostática envolvendo a carga total de um disco e o potencial elétrico em um ponto específico. Precisamos aplicar conceitos de densidade superficial de carga e cálculo de potencial elétrico para discos carregados. Para isso, utilizaremos integrais em coordenadas polares e fórmulas básicas de eletrostática.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a carga total do disco. A densidade superficial de carga, σ, varia em duas regiões do disco:
  • De a ,
  • De a ,
A carga total é a soma das cargas em cada região.

Passo 3

Para calcular a carga em cada região, usamos a fórmula:
Onde é o elemento de área em coordenadas polares:

Passo 4

Calculamos a carga na primeira região ( ):
Substituindo :

Passo 5

Calculamos a carga na segunda região ( ):
Substituindo :

Passo 6

A carga total do disco é a soma . Calculamos cada parte e somamos:

Passo 7

Agora, calculamos numericamente:

Resposta

A carga total do disco é aproximadamente .

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