Um disco tem um raio R=2,20 cm. A densidade superficial de cargas é 1,50 times 10^-6 C / m^2 entre r=0 e r=R / 2 e 8,00 times 10^-7 C / m^2 entre r=R / 2 e r=R. (a) Qual é a carga total do disco? (b) Com V=0 no infinito, qual é o potencial elétrico em um ponto sobre o eixo central do disco a uma distância z=R / 2 do centro do disco?

Passo 1

Vamos resolver um exercício de eletrostática envolvendo a carga total de um disco e o potencial elétrico em um ponto específico. Precisamos aplicar conceitos de densidade superficial de carga e cálculo de potencial elétrico para discos carregados. Para isso, utilizaremos integrais em coordenadas polares e fórmulas básicas de eletrostática.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a carga total do disco. A densidade superficial de carga, σ, varia em duas regiões do disco:
  • De a ,
  • De a ,
A carga total é a soma das cargas em cada região.

Passo 3

Para calcular a carga em cada região, usamos a fórmula:
Q = integral sigma , dA
Onde dA = 2pi r , dr é o elemento de área em coordenadas polares:

Passo 4

Calculamos a carga na primeira região ( Q1 = sigma1 integral0^R2 2pi r , dr = 2pi sigma1 [ r^22 ]0^R2 = 2pi sigma1 ( R^28 ) = pi sigma1 R^24 ):
Q1 = pi times 1,50 times 10^-6 times (0,022)^24
Substituindo :

Passo 5

Calculamos a carga na segunda região ( Q2 = sigma2 integralR2^R 2pi r , dr = 2pi sigma2 [ r^22 ]R2^R = 2pi sigma2 ( R^22 - (R/2)^22 ) = 2pi sigma2 ( R^22 - R^28 ) = 2pi sigma2 ( 3R^28 ) = 3pi sigma2 R^24 ):
Q2 = 3pi times 8,00 times 10^-7 times (0,022)^24
Substituindo :

Passo 6

A carga total do disco é a soma Q = pi times 1,50 times 10^-6 times (0,022)^24 + 3pi times 8,00 times 10^-7 times (0,022)^24 . Calculamos cada parte e somamos:

Passo 7

Agora, calculamos numericamente:
R = 0,022 , m
Q = pi times 1,50 times 10^-6 times 0,0004844 + 3pi times 8,00 times 10^-7 times 0,0004844
Q approx 3,14 times 1,50 times 10^-6 times 0,0004844 + 3 times 3,14 times 8,00 times 10^-7 times 0,0004844
Q approx 2,28 times 10^-94 + 7,27 times 10^-104 approx 5,7 times 10^-10 + 1,82 times 10^-10 approx 7,52 times 10^-10 , C

Resposta

A carga total do disco é aproximadamente .

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