Um capacitor esférico é formado por dois condutores esféricos concêntricos separados pelo vácuo. A superfície esférica interna possui raio de 12,5 cm e a capacitância é igual a 99 pF . (a) Qual é o raio da superfície esférica externa?

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o enunciado está nos pedindo. Temos um capacitor esférico formado por duas esferas concêntricas, ou seja, uma esfera dentro da outra com o mesmo centro. A esfera interna tem um raio de e a capacitância desse capacitor é de (picofarad). Nosso objetivo é descobrir qual é o raio da esfera externa.
Para resolver esse problema, vamos precisar usar a fórmula da capacitância de um capacitor esférico, que envolve constantes elétricas e relações geométricas entre as duas esferas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da capacitância C = 4pivarepsilon0 r1 r2r2 - r1 de um capacitor esférico com duas esferas concêntricas:
Onde:
  • é a capacitância,
  • é a permissividade do vácuo ( ),
  • é o raio da esfera interna,
  • é o raio da esfera externa.
Nosso objetivo é encontrar .

Passo 3

Vamos substituir os valores que já conhecemos na fórmula. Primeiro, precisamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI):
  • 99 times 10^-12 = 4pi times 8,854 times 10^-12 times 0,125 times r2r2 - 0,125
Substituindo na fórmula:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a equação para resolver 4pi times 8,854 times 10^-12 approx 1,112 times 10^-10 . Primeiro, vamos multiplicar os números constantes:
99 times 10^-12 = 1,112 times 10^-10 times 0,125 times r2r2 - 0,125
Então, a equação fica:

Passo 5

Vamos isolar a fração que contém 0,125 times r2r2 - 0,125 = 99 times 10^-121,112 times 10^-10 :
99 times 10^-121,112 times 10^-10 approx 0,891
Calculando o lado direito:
0,125 times r2r2 - 0,125 = 0,891
Então:

Passo 6

Agora, vamos resolver a equação para 0,125 times r2 = 0,891 times (r2 - 0,125) . Multiplicamos ambos os lados por 0,125 times r2 = 0,891 times r2 - 0,111375 :
Distribuindo o 0,891:

Passo 7

Vamos reunir os termos com 0,125 times r2 - 0,891 times r2 = -0,111375 de um lado e os constantes do outro:
-0,766 times r2 = -0,111375

Passo 8

Agora, isolamos r2 = -0,111375-0,766 approx 0,145 , m dividindo ambos os lados por 0,145 , m = 14,5 , cm :
Convertendo para centímetros:

Resposta

O raio da superfície esférica externa é de aproximadamente .

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