Um capacitor esférico de raio interno a e raio externo b tem espaço entre as placas totalmente preenchido por duas camadas concêntricas de dielétrico diferentes superpostas, uma de espessura
e constante elétrica
, e outra de espessura
e constante dielétrica
. Calcule a capacitância desse capacitor.
Resposta:
.
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um capacitor esférico com um raio interno $ a $ e um raio externo $ b $. Entre essas duas “placas” esféricas, tem duas camadas de material dielétrico diferentes que são concêntricas. A primeira camada tem espessura $ c - a $ e constante dielétrica $ k_1 $, e a segunda camada tem espessura $ b - c $ e constante dielétrica $ k_2 $.
O que a gente precisa calcular é a capacitância desse capacitor. Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente sobre capacitância de capacitores esféricos com dielétricos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a capacitância $ C $ de um capacitor esférico sem dielétrico é dada por:
Onde:
- $ \epsilon_0 $ é a permissividade do vácuo,
- $ a $ é o raio interno,
- $ b $ é o raio externo.
Mas no nosso caso, temos dois dielétricos diferentes, então precisamos ajustar essa fórmula.
Passo 3
Quando temos camadas de dielétricos, a capacitância total pode ser calculada considerando que essas camadas agem como capacitores em série. Lembra que para capacitores em série, a capacitância total $ C $ é dada por:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são as capacitâncias das duas camadas.
Passo 4
Agora, vamos calcular $ C_1 $ e $ C_2 $ para cada camada dielétrica.
Para a primeira camada (com constante dielétrica $ k_1 $ e espessura $ c - a $):
E para a segunda camada (com constante dielétrica $ k_2 $ e espessura $ b - c $):
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula dos capacitores em série:
Substituindo $ C_1 $ e $ C_2 $:
Passo 6
Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, colocamos $ \frac{1}{4\pi \epsilon_0} $ em evidência:
Simplificando as frações dentro do parênteses:
Resposta
Portanto, a capacitância do capacitor esférico é: