Um capacitor esférico de raio interno a e raio externo b tem espaço entre as placas totalmente preenchido por duas camadas concêntricas de dielétrico diferentes superpostas, uma de espessura c-a e constante elétrica k1, e outra de espessura b-c e constante dielétrica k2. Calcule a capacitância desse capacitor.
Resposta: 1 / C=1 / 4 pi epsilon0[(1 / k1)(1 / a-1 / c)+(1 / k2)(1 / c-1 / b)].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um capacitor esférico com um raio interno $ a $ e um raio externo $ b $. Entre essas duas “placas” esféricas, tem duas camadas de material dielétrico diferentes que são concêntricas. A primeira camada tem espessura $ c - a $ e constante dielétrica $ k_1 $, e a segunda camada tem espessura $ b - c $ e constante dielétrica $ k_2 $.
O que a gente precisa calcular é a capacitância desse capacitor. Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente sobre capacitância de capacitores esféricos com dielétricos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a capacitância $ C $ de um capacitor esférico sem dielétrico é dada por:
C
Onde:
  • $ \epsilon_0 $ é a permissividade do vácuo,
  • $ a $ é o raio interno,
  • $ b $ é o raio externo.
Mas no nosso caso, temos dois dielétricos diferentes, então precisamos ajustar essa fórmula.

Passo 3

Quando temos camadas de dielétricos, a capacitância total pode ser calculada considerando que essas camadas agem como capacitores em série. Lembra que para capacitores em série, a capacitância total $ C $ é dada por:
C
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são as capacitâncias das duas camadas.

Passo 4

Agora, vamos calcular $ C_1 $ e $ C_2 $ para cada camada dielétrica.
Para a primeira camada (com constante dielétrica $ k_1 $ e espessura $ c - a $):
C1
E para a segunda camada (com constante dielétrica $ k_2 $ e espessura $ b - c $):
C2

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula dos capacitores em série:
1C = 1C1 + 1C2
Substituindo $ C_1 $ e $ C_2 $:
C1

Passo 6

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, colocamos $ \frac{1}{4\pi \epsilon_0} $ em evidência:
14pi epsilon0
Simplificando as frações dentro do parênteses:
1C = 14pi epsilon0 ( c - ak1 ac + b - ck2 cb )

Resposta

Portanto, a capacitância do capacitor esférico é:
1C = 14pi epsilon0 [ ( 1k1 ) ( 1a - 1c ) + ( 1k2 ) ( 1c - 1b ) ]

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