O maquinista de um trem de passageiros que viaja com velocidade vp=25,0 m / s avista um trem de carga cuja traseira se encontra a 200,0 m de distância da frente do trem de passageiros (Figura 2.47). O trem de carga se desloca no mesmo sentido do trem de passageiros com velocidade vc=15,0 m / s. O maquinista imediatamente aciona o freio, produzindo uma aceleração constante igual a -0,100 m / s^2, enquanto o trem de carga continua com a mesma velocidade. Considere x=0 como o local onde se encontra a frente do trem de passageiros quando o freio é acionado. Caso a resposta anterior seja positiva, em que ponto ocorrerá a colisão?

Passo 1

Aqui temos um problema envolvendo o movimento de dois trens na mesma direção. O trem de passageiros está se movendo a uma velocidade de $ v_{\mathrm{p}} = 25,0 \ \mathrm{m/s} $ e, ao avistar o trem de carga, que está a $ 200,0 \ \mathrm{m} $ de distância com velocidade $ v_{\mathrm{c}} = 15,0 \ \mathrm{m/s} $, o maquinista do trem de passageiros aciona os freios, produzindo uma aceleração constante de $ a = -0,100 \ \mathrm{m/s}^2 $. Vamos usar as equações do movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV) e do movimento retilíneo uniforme (MRU) para determinar se haverá colisão e, se sim, em que ponto isso ocorrerá.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a posição do trem de passageiros em função do tempo. Como ele está desacelerando, usamos a equação do MRUV:
xp(t) = vp t + 12 a t^2
Substituindo os valores:
xp(t) = 25,0 t + 12 (-0,100) t^2 = 25,0 t - 0,05 t^2

Passo 3

Agora, vamos determinar a posição do trem de carga. Como ele se move com velocidade constante, usamos a equação do MRU:
xc(t) = x0 + vc t
Sabendo que, inicialmente, a traseira do trem de carga está a $ 200,0 \ \mathrm{m} $ da frente do trem de passageiros:
200,0 m

Passo 4

Para encontrar o ponto de colisão, precisamos igualar as posições dos dois trens, ou seja, resolver $ x_{\mathrm{p}}(t) = x_{\mathrm{c}}(t) $:
xp(t) = xc(t)

Passo 5

Vamos reorganizar a equação para formar uma equação quadrática:
-0,05 t^2 + 25,0 t - 15,0 t - 200,0 = 0 -0,05 t^2 + 10,0 t - 200,0 = 0
Multiplicando todos os termos por -20 para simplificar:
t^2 - 200 t + 4000 = 0

Passo 6

Agora, resolvemos a equação quadrática $ t^2 - 200 t + 4000 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
t^2 - 200 t + 4000 = 0
Onde $ a = 1 $, $ b = -200 $ e $ c = 4000 $:
t = -b pm raizb^2 - 4ac2a

Passo 7

Calculando as duas possíveis soluções para $ t $:
t
Desconsideramos $ t_1 $ pois não faz sentido físico após tanto tempo. Portanto, consideramos $ t = 22,54 \ \mathrm{s} $.

Passo 8

Finalmente, calculamos o ponto de colisão substituindo $ t = 22,54 \ \mathrm{s} $ na equação da posição do trem de passageiros:
t = 22,54 s

Resposta

A colisão ocorrerá a aproximadamente $ 538 \ \mathrm{metros} $ do ponto onde os freios foram acionados.

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