O maquinista de um trem de passageiros que viaja com velocidade
avista um trem de carga cuja traseira se encontra a
de distância da frente do trem de passageiros (Figura 2.47). O trem de carga se desloca no mesmo sentido do trem de passageiros com velocidade
. O maquinista imediatamente aciona o freio, produzindo uma aceleração constante igual a
, enquanto o trem de carga continua com a mesma velocidade. Considere
como o local onde se encontra a frente do trem de passageiros quando o freio é acionado. Caso a resposta anterior seja positiva, em que ponto ocorrerá a colisão?
Passo 1
Aqui temos um problema envolvendo o movimento de dois trens na mesma direção. O trem de passageiros está se movendo a uma velocidade de $ v_{\mathrm{p}} = 25,0 \ \mathrm{m/s} $ e, ao avistar o trem de carga, que está a $ 200,0 \ \mathrm{m} $ de distância com velocidade $ v_{\mathrm{c}} = 15,0 \ \mathrm{m/s} $, o maquinista do trem de passageiros aciona os freios, produzindo uma aceleração constante de $ a = -0,100 \ \mathrm{m/s}^2 $. Vamos usar as equações do movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV) e do movimento retilíneo uniforme (MRU) para determinar se haverá colisão e, se sim, em que ponto isso ocorrerá.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar a posição do trem de passageiros em função do tempo. Como ele está desacelerando, usamos a equação do MRUV:
Substituindo os valores:
Passo 3
Agora, vamos determinar a posição do trem de carga. Como ele se move com velocidade constante, usamos a equação do MRU:
Sabendo que, inicialmente, a traseira do trem de carga está a $ 200,0 \ \mathrm{m} $ da frente do trem de passageiros:
Passo 4
Para encontrar o ponto de colisão, precisamos igualar as posições dos dois trens, ou seja, resolver $ x_{\mathrm{p}}(t) = x_{\mathrm{c}}(t) $:
Passo 5
Vamos reorganizar a equação para formar uma equação quadrática:
Multiplicando todos os termos por
para simplificar:
Passo 6
Agora, resolvemos a equação quadrática $ t^2 - 200 t + 4000 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
Onde $ a = 1 $, $ b = -200 $ e $ c = 4000 $:
Passo 7
Calculando as duas possíveis soluções para $ t $:
Desconsideramos $ t_1 $ pois não faz sentido físico após tanto tempo. Portanto, consideramos $ t = 22,54 \ \mathrm{s} $.
Passo 8
Finalmente, calculamos o ponto de colisão substituindo $ t = 22,54 \ \mathrm{s} $ na equação da posição do trem de passageiros:
Resposta
A colisão ocorrerá a aproximadamente $ 538 \ \mathrm{metros} $ do ponto onde os freios foram acionados.