Um capacitor é formado por placas planas paralelas circulares com raio 5,00 cm. A carga no capacitor cresce a uma taxa de 10,0 C / s. Encontre a expressão literal para variação do campo magnético em função do raio e responda:
E em um ponto ainda entre as placas, distante 12,0 cm do eixo dos discos?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um capacitor com placas circulares paralelas de raio 5,00 cm, onde a carga está aumentando a uma taxa de 10,0 C/s. Nosso objetivo é encontrar a expressão da variação do campo magnético em função do raio e, depois, calcular esse campo magnético em um ponto entre as placas que está a 12,0 cm do eixo dos discos.
Vamos precisar usar conceitos de eletromagnetismo, especialmente a lei de Ampère-Maxwell, que relaciona campos elétricos variáveis com campos magnéticos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a carga está mudando no capacitor. A taxa de variação da carga, dQ/dt, é dada como 10,0 C/s. Isso significa que a corrente, que é a taxa de fluxo de carga, também é 10,0 A.

Passo 3

Agora, vamos usar a lei de Ampère-Maxwell, que nos diz que a circulação do campo magnético B ao longo de um caminho fechado é igual à permeabilidade do vácuo vezes a corrente total que atravessa a superfície delimitada pelo caminho, mais a taxa de variação do deslocamento elétrico.
Matematicamente, isso é:
oint B cdot dl = mu0 Itot + mu0 epsilon0 dPhiEdt
Mas como estamos lidando com um capacitor com placas paralelas, a contribuição principal vem da corrente de deslocamento, já que não há corrente real atravessando o dielétrico.

Passo 4

A corrente de deslocamento é dada por:
Id = epsilon0 dPhiEdt
Onde PhiE = E cdot A = E cdot pi r^2 é o fluxo elétrico. Para placas circulares, o fluxo elétrico é:
Id = epsilon0 ddt(E cdot pi r^2) = epsilon0 pi r^2 dEdt
Então, a corrente de deslocamento se torna:

Passo 5

Voltando à lei de Ampère-Maxwell simplificada para nosso caso:
oint B cdot dl = mu0 Id
Para um caminho circular de raio B cdot 2pi r = mu0 Id em torno do eixo do capacitor, a simetria do problema nos permite dizer que B cdot 2pi r = mu0 epsilon0 pi r^2 dEdt é constante ao longo do caminho e perpendicular a . Então:
Substituindo :

Passo 6

Agora, queremos encontrar 2pi r dBdt = mu0 epsilon0 pi r^2 d^2 Edt^2 . Diferenciando ambos os lados em relação ao tempo:
B = mu0 epsilon0 r2 dEdt
Mas isso complica um pouco as coisas. Em vez disso, podemos considerar diretamente a relação entre e :

Passo 7

Sabemos que a corrente total Jd = epsilon0 dEdt é 10,0 A, e I = Jd cdot A = epsilon0 dEdt cdot pi r^2 . Além disso, para um capacitor, a corrente de deslocamento está relacionada à taxa de variação da tensão, mas aqui vamos focar na relação direta com dEdt = Iepsilon0 pi r^2 .
A densidade de corrente de deslocamento é:
E a corrente total é:
Então:

Passo 8

Substituindo B = mu0 epsilon0 r2 cdot Iepsilon0 pi r^2 = mu0 I2pi r na expressão de B(r) = mu0 I2pi r :
Então, a expressão para o campo magnético em função do raio é:

Resposta

A expressão para o campo magnético em função do raio é:
B(r) = mu0 I2pi r
Substituindo os valores dados ( B(0,12) = 4pi times 10^-7 times 10,02pi times 0,12 = 4pi times 10^-62pi times 0,12 = 4 times 10^-62 times 0,12 = 4 times 10^-60,24 approx 1,67 times 10^-5 , T = 16,7 , muT e ):
Então, o campo magnético no ponto a 12,0 cm do eixo dos discos é aproximadamente 16,7 μT.

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