Um capacitor é formado por placas planas paralelas circulares com raio . A carga no capacitor cresce a uma taxa de . Encontre a expressão literal para variação do campo magnético em função do raio e responda:
E em um ponto ainda entre as placas, distante do eixo dos discos?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um capacitor com placas circulares paralelas de raio 5,00 cm, onde a carga está aumentando a uma taxa de 10,0 C/s. Nosso objetivo é encontrar a expressão da variação do campo magnético em função do raio e, depois, calcular esse campo magnético em um ponto entre as placas que está a 12,0 cm do eixo dos discos.
Vamos precisar usar conceitos de eletromagnetismo, especialmente a lei de Ampère-Maxwell, que relaciona campos elétricos variáveis com campos magnéticos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a carga está mudando no capacitor. A taxa de variação da carga, dQ/dt, é dada como 10,0 C/s. Isso significa que a corrente, que é a taxa de fluxo de carga, também é 10,0 A.

Passo 3

Agora, vamos usar a lei de Ampère-Maxwell, que nos diz que a circulação do campo magnético B ao longo de um caminho fechado é igual à permeabilidade do vácuo vezes a corrente total que atravessa a superfície delimitada pelo caminho, mais a taxa de variação do deslocamento elétrico.
Matematicamente, isso é:
Mas como estamos lidando com um capacitor com placas paralelas, a contribuição principal vem da corrente de deslocamento, já que não há corrente real atravessando o dielétrico.

Passo 4

A corrente de deslocamento é dada por:
Onde é o fluxo elétrico. Para placas circulares, o fluxo elétrico é:
Então, a corrente de deslocamento se torna:

Passo 5

Voltando à lei de Ampère-Maxwell simplificada para nosso caso:
Para um caminho circular de raio em torno do eixo do capacitor, a simetria do problema nos permite dizer que é constante ao longo do caminho e perpendicular a . Então:
Substituindo :

Passo 6

Agora, queremos encontrar . Diferenciando ambos os lados em relação ao tempo:
Mas isso complica um pouco as coisas. Em vez disso, podemos considerar diretamente a relação entre e :

Passo 7

Sabemos que a corrente total é 10,0 A, e . Além disso, para um capacitor, a corrente de deslocamento está relacionada à taxa de variação da tensão, mas aqui vamos focar na relação direta com .
A densidade de corrente de deslocamento é:
E a corrente total é:
Então:

Passo 8

Substituindo na expressão de :
Então, a expressão para o campo magnético em função do raio é:

Resposta

A expressão para o campo magnético em função do raio é:
Substituindo os valores dados ( e ):
Então, o campo magnético no ponto a 12,0 cm do eixo dos discos é aproximadamente 16,7 μT.

Exercícios relacionados

Nesta questão você deverá derivar a equação da onda para luz a partir das Equações de Maxwell e achar as soluções desta equação. Assuma que o campo elétrico seja função de e ao longo da direção y e que o campo magnético seja função de e ao longo da direção .
Sabendo que o vetor de onda da luz é , onde é comprimento de onda da luz, e que a frequência angular da luz é , onde f é frequência da luz, determine a velocidade da luz em termos de e .
Esboce a curva usando as equações paramétricas para marcar os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando aumenta.
Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva.
Marque a afirmativa que completa a frase nas questões abaixo:
Nos materiais paramagnéticos
A) O campo magnético induzido pode exceder o valor do campo aplicado dependendo da constante dielétrica do material.
B) Existe um momento dipolar nos
C) A magnetização depende da temperatura conforme a lei de Curie.
D) A e B e são corretos.
E) B e C são corretos.