Nesta questão você deverá derivar a equação da onda para luz a partir das Equações de Maxwell e achar as soluções desta equação. Assuma que o campo elétrico seja função de e ao longo da direção y e que o campo magnético seja função de e ao longo da direção .
Sabendo que o vetor de onda da luz é , onde é comprimento de onda da luz, e que a frequência angular da luz é , onde f é frequência da luz, determine a velocidade da luz em termos de e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que trata das Equações de Maxwell para derivar a equação da onda da luz. A gente precisa usar conceitos de eletricidade e magnetismo, especificamente como campos elétricos e magnéticos se comportam e se relacionam. Para isso, vamos precisar das Equações de Maxwell e das relações entre o vetor de onda , a frequência angular , e a velocidade da luz .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das Equações de Maxwell no vácuo:
Como estamos lidando com ondas eletromagnéticas no vácuo, não temos cargas ou correntes, por isso as duas primeiras equações são iguais a zero.
Passo 3
Vamos assumir que o campo elétrico E(x, t) = Ey(x, t) , y está na direção B(x, t) = Bz(x, t) , z e depende de e , e que o campo magnético está na direção e também depende de e . Então podemos escrever:
Passo 4
Vamos agora aplicar a terceira equação de Maxwell, que relaciona o rotacional do campo elétrico com a variação do campo magnético no tempo:
nabla times E = -partial Bpartial t
Calculando o rotacional de nabla times E = ( partial Eypartial x ) z - 0 , y + 0 , x = partial Eypartial x , z :
partial Eypartial x , z = -partial Bzpartial t , z
Igualando aos outros lados da equação de Maxwell:
partial Eypartial x = -partial Bzpartial t
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos aplicar a quarta equação de Maxwell, que relaciona o rotacional do campo magnético com a variação do campo elétrico no tempo:
nabla times B = mu0 varepsilon0 partial Epartial t
Calculando o rotacional de nabla times B = ( partial Bzpartial x ) y - 0 , x + 0 , z = partial Bzpartial x , y :
partial Bzpartial x , y = mu0 varepsilon0 partial Eypartial t , y
Igualando aos outros lados da equação de Maxwell:
partial Bzpartial x = mu0 varepsilon0 partial Eypartial t
Portanto:
Passo 6
Agora, vamos derivar uma equação para o campo elétrico. Derivando a equação partial^2 Eypartial x partial t = -partial^2 Bzpartial t^2 em relação ao tempo:
partial^2 Bzpartial x^2 = mu0 varepsilon0 partial^2 Eypartial t partial x
E derivando a equação partial^2 Eypartial x^2 = mu0 varepsilon0 partial^2 Eypartial t^2 em relação a :