Nesta questão você deverá derivar a equação da onda para luz a partir das Equações de Maxwell e achar as soluções desta equação. Assuma que o campo elétrico seja função de e ao longo da direção y e que o campo magnético seja função de e ao longo da direção .
Sabendo que o vetor de onda da luz é , onde é comprimento de onda da luz, e que a frequência angular da luz é , onde f é frequência da luz, determine a velocidade da luz em termos de e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que trata das Equações de Maxwell para derivar a equação da onda da luz. A gente precisa usar conceitos de eletricidade e magnetismo, especificamente como campos elétricos e magnéticos se comportam e se relacionam. Para isso, vamos precisar das Equações de Maxwell e das relações entre o vetor de onda , a frequência angular , e a velocidade da luz .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das Equações de Maxwell no vácuo:
Como estamos lidando com ondas eletromagnéticas no vácuo, não temos cargas ou correntes, por isso as duas primeiras equações são iguais a zero.

Passo 3

Vamos assumir que o campo elétrico está na direção e depende de e , e que o campo magnético está na direção e também depende de e . Então podemos escrever:

Passo 4

Vamos agora aplicar a terceira equação de Maxwell, que relaciona o rotacional do campo elétrico com a variação do campo magnético no tempo:
Calculando o rotacional de :
Igualando aos outros lados da equação de Maxwell:
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos aplicar a quarta equação de Maxwell, que relaciona o rotacional do campo magnético com a variação do campo elétrico no tempo:
Calculando o rotacional de :
Igualando aos outros lados da equação de Maxwell:
Portanto:

Passo 6

Agora, vamos derivar uma equação para o campo elétrico. Derivando a equação em relação ao tempo:
E derivando a equação em relação a :
Comparando as duas equações derivadas, temos:

Passo 7

Essa é a equação da onda para o campo elétrico:
Sabemos que a equação geral da onda é:
Comparando as duas equações, identificamos que:

Resposta

A velocidade da luz é dada por:

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