Nesta questão você deverá derivar a equação da onda para luz a partir das Equações de Maxwell e achar as soluções desta equação. Assuma que o campo elétrico seja função de x e t ao longo da direção y e que o campo magnético seja função de x e t ao longo da direção z.
Sabendo que o vetor de onda da luz é k=2 pilambda, onde lambda é comprimento de onda da luz, e que a frequência angular da luz é omega=2 pi f, onde f é frequência da luz, determine a velocidade da luz c em termos de mu0 e varepsilon0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que trata das Equações de Maxwell para derivar a equação da onda da luz. A gente precisa usar conceitos de eletricidade e magnetismo, especificamente como campos elétricos e magnéticos se comportam e se relacionam. Para isso, vamos precisar das Equações de Maxwell e das relações entre o vetor de onda , a frequência angular , e a velocidade da luz .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das Equações de Maxwell no vácuo:
nabla cdot E = 0 nabla cdot B = 0 nabla times E = -partial Bpartial t nabla times B = mu0 varepsilon0 partial Epartial t
Como estamos lidando com ondas eletromagnéticas no vácuo, não temos cargas ou correntes, por isso as duas primeiras equações são iguais a zero.

Passo 3

Vamos assumir que o campo elétrico E(x, t) = Ey(x, t) , y está na direção B(x, t) = Bz(x, t) , z e depende de e , e que o campo magnético está na direção e também depende de e . Então podemos escrever:

Passo 4

Vamos agora aplicar a terceira equação de Maxwell, que relaciona o rotacional do campo elétrico com a variação do campo magnético no tempo:
nabla times E = -partial Bpartial t
Calculando o rotacional de nabla times E = ( partial Eypartial x ) z - 0 , y + 0 , x = partial Eypartial x , z :
partial Eypartial x , z = -partial Bzpartial t , z
Igualando aos outros lados da equação de Maxwell:
partial Eypartial x = -partial Bzpartial t
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos aplicar a quarta equação de Maxwell, que relaciona o rotacional do campo magnético com a variação do campo elétrico no tempo:
nabla times B = mu0 varepsilon0 partial Epartial t
Calculando o rotacional de nabla times B = ( partial Bzpartial x ) y - 0 , x + 0 , z = partial Bzpartial x , y :
partial Bzpartial x , y = mu0 varepsilon0 partial Eypartial t , y
Igualando aos outros lados da equação de Maxwell:
partial Bzpartial x = mu0 varepsilon0 partial Eypartial t
Portanto:

Passo 6

Agora, vamos derivar uma equação para o campo elétrico. Derivando a equação partial^2 Eypartial x partial t = -partial^2 Bzpartial t^2 em relação ao tempo:
partial^2 Bzpartial x^2 = mu0 varepsilon0 partial^2 Eypartial t partial x
E derivando a equação partial^2 Eypartial x^2 = mu0 varepsilon0 partial^2 Eypartial t^2 em relação a :
Comparando as duas equações derivadas, temos:

Passo 7

Essa é a equação da onda para o campo elétrico:
partial^2 Eypartial x^2 = mu0 varepsilon0 partial^2 Eypartial t^2
Sabemos que a equação geral da onda é:
partial^2 psipartial x^2 = 1v^2 partial^2 psipartial t^2
Comparando as duas equações, identificamos que:
1v^2 = mu0 varepsilon0 implies v = 1raizmu0 varepsilon0

Resposta

A velocidade da luz c = 1raizmu0 varepsilon0 é dada por:

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