Um capacitor inicialmente descarregado é carregado totalmente por uma fonte de força eletromotriz constante ligada em série com um resistor .
Mostre que a energia final armazenada no capacitor é igual à metade da energia fornecida pela fonte;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um capacitor que começa sem carga e vai ser carregado por uma bateria com força eletromotriz constante, , e um resistor, , ligados em série. O conteúdo aqui envolve circuitos elétricos, especificamente como resistores e capacitores se comportam juntos. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a energia armazenada em um capacitor e a energia fornecida pela bateria durante o processo de carga.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como a energia armazenada em um capacitor é calculada. A energia ( ) armazenada em um capacitor é dada pela fórmula:
onde é a capacitância e é a tensão no capacitor. Como, no final do carregamento, a tensão no capacitor é igual à tensão da bateria ( ), podemos reescrever a energia armazenada como:

Passo 3

Agora, vamos pensar na energia fornecida pela bateria. A energia total fornecida pela fonte durante o processo de carga é igual ao produto da tensão pela carga total transferida. A carga ( ) armazenada no capacitor ao final é:
Então, a energia fornecida pela bateria é:

Passo 4

Para comparar as duas energias, vamos ver a relação entre a energia armazenada no capacitor e a energia fornecida pela bateria:
Observamos que:

Resposta

A energia final armazenada no capacitor é igual à metade da energia fornecida pela fonte.

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