Um capacitor de
com uma energia inicial armazenada de
é descarregado através de um resistor de
. (a) Qual a carga inicial no capacitor? (b) Qual o valor da corrente através do resistor no momento em que a descarga inicia? © Determine
, a diferença de potencial no capacitor, e
, a diferença de potencial no resistor, em função do tempo. (d) Expresse a taxa de geração de energia térmica no resistor em função do tempo. OBS:
pontos)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um capacitor de
que está armazenando uma energia inicial de
. Esse capacitor está sendo descarregado através de um resistor de
. A gente precisa resolver quatro partes:
a) Encontrar a carga inicial no capacitor.
b) Descobrir a corrente que passa pelo resistor no exato momento em que a descarga começa.
c) Determinar as diferenças de potencial no capacitor ( ) e no resistor (
) em função do tempo.
d) Expressar a taxa de geração de energia térmica no resistor conforme o tempo passa.
b) Descobrir a corrente que passa pelo resistor no exato momento em que a descarga começa.
c) Determinar as diferenças de potencial no capacitor (
d) Expressar a taxa de geração de energia térmica no resistor conforme o tempo passa.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de capacitores, resistores e circuitos RC, além de algumas fórmulas básicas de energia e descarga.
Passo 2
Vamos começar pela parte a): qual é a carga inicial no capacitor?
Primeiro, a energia armazenada em um capacitor é dada pela fórmula:
Onde:
-
é a energia, -
é a carga, -
é a capacitância.
A gente sabe que
e
. Queremos achar
.
Rearranjando a fórmula para encontrar
:
Passo 3
Vamos calcular
usando os valores fornecidos:
Então, a carga inicial no capacitor é
.
Passo 4
Agora, para a parte b): qual a corrente através do resistor no momento em que a descarga inicia?
A corrente num circuito RC no início da descarga é dada por:
Onde:
-
é a carga inicial, -
é a resistência, -
é a capacitância.
Vamos substituir os valores.
Passo 5
Calculando
:
Portanto, a corrente inicial é
.
Passo 6
Vamos para a parte c): determinar
e
em função do tempo.
Sabemos que a tensão no capacitor decai exponencialmente:
E a tensão no resistor é:
Onde
é a tensão inicial.
Primeiro, vamos encontrar
.
Passo 7
A tensão inicial
está relacionada à carga inicial e à capacitância:
Substituindo os valores:
Então, as expressões ficam:
Simplificando o expoente:
Então,
Passo 8
Finalmente, para a parte d): expressar a taxa de geração de energia térmica no resistor em função do tempo.
A potência dissipada no resistor é dada por:
Sabemos que:
Substituindo:
Com os valores:
Resposta
a) A carga inicial no capacitor é
.
b) A corrente inicial atrav��s do resistor é .
c) As diferenças de potencial são:
b) A corrente inicial atrav��s do resistor é
c) As diferenças de potencial são:
d) A taxa de geração de energia térmica no resistor é: