Um capacitor de 2 mu F com uma energia inicial armazenada de 9 m J é descarregado através de um resistor de 1 M Omega. (a) Qual a carga inicial no capacitor? (b) Qual o valor da corrente através do resistor no momento em que a descarga inicia? © Determine VC, a diferença de potencial no capacitor, e VR, a diferença de potencial no resistor, em função do tempo. (d) Expresse a taxa de geração de energia térmica no resistor em função do tempo. OBS: U=q^2 / 2 C, q(t)=q0 exp (-t / R C)(2,0 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um capacitor de 2,mu F que está armazenando uma energia inicial de 9,mJ. Esse capacitor está sendo descarregado através de um resistor de 1,MOmega. A gente precisa resolver quatro partes:
a) Encontrar a carga inicial no capacitor.
b) Descobrir a corrente que passa pelo resistor no exato momento em que a descarga começa.
c) Determinar as diferenças de potencial no capacitor ( VC) e no resistor ( VR) em função do tempo.
d) Expressar a taxa de geração de energia térmica no resistor conforme o tempo passa.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de capacitores, resistores e circuitos RC, além de algumas fórmulas básicas de energia e descarga.

Passo 2

Vamos começar pela parte a): qual é a carga inicial no capacitor?
Primeiro, a energia armazenada em um capacitor é dada pela fórmula:
U = q^22C
Onde:
  • U é a energia,
  • q é a carga,
  • C é a capacitância.
A gente sabe que U = 9,mJ e C = 2,mu F. Queremos achar q.
Rearranjando a fórmula para encontrar q:
q = raiz2UC

Passo 3

Vamos calcular q usando os valores fornecidos:
q = raiz2 times 9 times 10^-3,J times 2 times 10^-6,F q = raiz36 times 10^-9 q = 6 times 10^-5,C
Então, a carga inicial no capacitor é q = 6 times 10^-5,C.

Passo 4

Agora, para a parte b): qual a corrente através do resistor no momento em que a descarga inicia?
A corrente num circuito RC no início da descarga é dada por:
I(0) = q0RC
Onde:
  • q0 é a carga inicial,
  • R é a resistência,
  • C é a capacitância.
Vamos substituir os valores.

Passo 5

Calculando I(0):
I(0) = 6 times 10^-5,C1 times 10^6,Omega times 2 times 10^-6,F I(0) = 6 times 10^-52 I(0) = 3 times 10^-5,A
Portanto, a corrente inicial é I = 3 times 10^-5,A.

Passo 6

Vamos para a parte c): determinar VC(t) e VR(t) em função do tempo.
Sabemos que a tensão no capacitor decai exponencialmente:
VC(t) = V0 exp(-tRC)
E a tensão no resistor é:
VR(t) = I(t) R = V0 exp(-tRC)
Onde V0 é a tensão inicial.
Primeiro, vamos encontrar V0.

Passo 7

A tensão inicial V0 está relacionada à carga inicial e à capacitância:
V0 = q0C
Substituindo os valores:
V0 = 6 times 10^-5,C2 times 10^-6,F V0 = 30,V
Então, as expressões ficam:
VC(t) = 30,V cdot exp(-t1 times 10^6,Omega times 2 times 10^-6,F) VR(t) = 30,V cdot exp(-t2)
Simplificando o expoente:
RC = 1 times 10^6 times 2 times 10^-6 = 2,s
Então,
VC(t) = 30,V cdot e^-t/2 VR(t) = 30,V cdot e^-t/2

Passo 8

Finalmente, para a parte d): expressar a taxa de geração de energia térmica no resistor em função do tempo.
A potência dissipada no resistor é dada por:
P(t) = I^2(t) R
Sabemos que:
I(t) = q0RC exp(-tRC)
Substituindo:
P(t) = (q0RC)^2 R exp(-2tRC) P(t) = q0^2R C^2 exp(-2tRC)
Com os valores:
P(t) = (6 times 10^-5)^21 times 10^6 times (2 times 10^-6)^2 exp(-2t2) P(t) = 36 times 10^-104 times 10^-6 exp(-t) P(t) = 9 times 10^-4,W cdot e^-t

Resposta

a) A carga inicial no capacitor é 6 times 10^-5,C.
b) A corrente inicial atrav��s do resistor é 3 times 10^-5,A.
c) As diferenças de potencial são:
VC(t) = 30,V cdot e^-t/2
VR(t) = 30,V cdot e^-t/2
d) A taxa de geração de energia térmica no resistor é:
P(t) = 9 times 10^-4,W cdot e^-t

Exercícios relacionados