Um capacitor de com uma energia inicial armazenada de é descarregado através de um resistor de . (a) Qual a carga inicial no capacitor? (b) Qual o valor da corrente através do resistor no momento em que a descarga inicia? © Determine , a diferença de potencial no capacitor, e , a diferença de potencial no resistor, em função do tempo. (d) Expresse a taxa de geração de energia térmica no resistor em função do tempo. OBS: pontos)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um capacitor de que está armazenando uma energia inicial de . Esse capacitor está sendo descarregado através de um resistor de . A gente precisa resolver quatro partes:
a) Encontrar a carga inicial no capacitor.
b) Descobrir a corrente que passa pelo resistor no exato momento em que a descarga começa.
c) Determinar as diferenças de potencial no capacitor ( ) e no resistor ( ) em função do tempo.
d) Expressar a taxa de geração de energia térmica no resistor conforme o tempo passa.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de capacitores, resistores e circuitos RC, além de algumas fórmulas básicas de energia e descarga.

Passo 2

Vamos começar pela parte a): qual é a carga inicial no capacitor?
Primeiro, a energia armazenada em um capacitor é dada pela fórmula:
Onde:
  • é a energia,
  • é a carga,
  • é a capacitância.
A gente sabe que e . Queremos achar .
Rearranjando a fórmula para encontrar :

Passo 3

Vamos calcular usando os valores fornecidos:
Então, a carga inicial no capacitor é .

Passo 4

Agora, para a parte b): qual a corrente através do resistor no momento em que a descarga inicia?
A corrente num circuito RC no início da descarga é dada por:
Onde:
  • é a carga inicial,
  • é a resistência,
  • é a capacitância.
Vamos substituir os valores.

Passo 5

Calculando :
Portanto, a corrente inicial é .

Passo 6

Vamos para a parte c): determinar e em função do tempo.
Sabemos que a tensão no capacitor decai exponencialmente:
E a tensão no resistor é:
Onde é a tensão inicial.
Primeiro, vamos encontrar .

Passo 7

A tensão inicial está relacionada à carga inicial e à capacitância:
Substituindo os valores:
Então, as expressões ficam:
Simplificando o expoente:
Então,

Passo 8

Finalmente, para a parte d): expressar a taxa de geração de energia térmica no resistor em função do tempo.
A potência dissipada no resistor é dada por:
Sabemos que:
Substituindo:
Com os valores:

Resposta

a) A carga inicial no capacitor é .
b) A corrente inicial atrav��s do resistor é .
c) As diferenças de potencial são:
d) A taxa de geração de energia térmica no resistor é:

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