Uma pequena esfera com massa
e carga
está em equilíbrio estático com uma superfície plana infinita (não-condutora) com densidade superficial de carga
constante. Sabendo que o ângulo
é
, determine a densidade superficial
.
Escolha uma opção:
a.
.
b.
.
C.
.
d.
.
e.
.
Escolha uma opção:
a.
b.
C.
d.
e.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que tá acontecendo aqui. Temos uma esfera pequenininha com massa
e carga
que tá em equilíbrio estático perto de uma superfície plana infinita que não conduz eletricidade e tem uma densidade superficial de carga constante
. O ângulo que forma com a vertical é
. Nosso objetivo é descobrir qual é essa densidade superficial
. Vamos usar conceitos de equilíbrio de forças, eletricidade estática e gravidade para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as unidades pra facilitar os cálculos. A massa da esfera é
, que em quilogramas fica
. A carga
é
.
Passo 3
Agora, precisamos entender a força elétrica que atua sobre a esfera. Como temos uma superfície carregada, o campo elétrico
gerado por uma superfície plana infinita com densidade superficial de carga
é dado por:
onde
é a permissividade do vácuo.
Passo 4
A esfera está em equilíbrio, então as forças que atuam nela devem se balancear. As forças são:
- Força Gravitacional (
): puxa a esfera para baixo e é dada por:
onde
é a aceleração da gravidade.
- Força Elétrica (
): atua na direção do campo elétrico e tem componentes horizontal e vertical.
Dado que o ângulo
, podemos decompor
em:
Para o equilíbrio vertical:
Substituindo:
Substituindo
da Passo 3:
Passo 5
Vamos isolar
:
Substituindo os valores:
Calculando o numerador:
Denominador:
Então:
Mas percebemos que isso não bate com as opções dadas. Vamos verificar os cálculos novamente.
Na verdade, houve um erro na interpretação da carga
. Se
, então
. Vamos refazer com esse valor:
Convertendo para notação científica:
Arredondando, temos
.
Resposta
A densidade superficial
é
. Portanto, a opção C está correta.