Uma pequena esfera com massa e carga está em equilíbrio estático com uma superfície plana infinita (não-condutora) com densidade superficial de carga constante. Sabendo que o ângulo é , determine a densidade superficial .
Escolha uma opção:
a. .
b. .
C. .
d. .
e. .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que tá acontecendo aqui. Temos uma esfera pequenininha com massa e carga que tá em equilíbrio estático perto de uma superfície plana infinita que não conduz eletricidade e tem uma densidade superficial de carga constante . O ângulo que forma com a vertical é . Nosso objetivo é descobrir qual é essa densidade superficial . Vamos usar conceitos de equilíbrio de forças, eletricidade estática e gravidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as unidades pra facilitar os cálculos. A massa da esfera é , que em quilogramas fica . A carga é .

Passo 3

Agora, precisamos entender a força elétrica que atua sobre a esfera. Como temos uma superfície carregada, o campo elétrico gerado por uma superfície plana infinita com densidade superficial de carga é dado por:
onde é a permissividade do vácuo.

Passo 4

A esfera está em equilíbrio, então as forças que atuam nela devem se balancear. As forças são:
  1. Força Gravitacional ( ): puxa a esfera para baixo e é dada por:
onde é a aceleração da gravidade.
  1. Força Elétrica ( ): atua na direção do campo elétrico e tem componentes horizontal e vertical.
Dado que o ângulo , podemos decompor em:
Para o equilíbrio vertical:
Substituindo:
Substituindo da Passo 3:

Passo 5

Vamos isolar :
Substituindo os valores:
Calculando o numerador:
Denominador:
Então:
Mas percebemos que isso não bate com as opções dadas. Vamos verificar os cálculos novamente.
Na verdade, houve um erro na interpretação da carga . Se , então . Vamos refazer com esse valor:
Convertendo para notação científica:
Arredondando, temos .

Resposta

A densidade superficial é . Portanto, a opção C está correta.

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