Uma pequena esfera com massa M = 3 g e carga Q=1 1 , 3 p C está em equilíbrio estático com uma superfície plana infinita (não-condutora) com densidade superficial de carga sigma constante. Sabendo que o ângulo theta é 6 0 ^circ, determine a densidade superficial sigma.
Escolha uma opção:
a. sigma=16 times 10^-2 C / m^2.
b. sigma=4 times 10^-4 C / m^2.
C. sigma=8 times 10^-2 C / m^2.
d. sigma=16 times 10^-4 C / m^2.
e. sigma=4 times 10^-2 C / m^2.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que tá acontecendo aqui. Temos uma esfera pequenininha com massa e carga que tá em equilíbrio estático perto de uma superfície plana infinita que não conduz eletricidade e tem uma densidade superficial de carga constante . O ângulo que forma com a vertical é . Nosso objetivo é descobrir qual é essa densidade superficial . Vamos usar conceitos de equilíbrio de forças, eletricidade estática e gravidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as unidades pra facilitar os cálculos. A massa da esfera é , que em quilogramas fica . A carga é .

Passo 3

Agora, precisamos entender a força elétrica que atua sobre a esfera. Como temos uma superfície carregada, o campo elétrico E = sigma2varepsilon0 gerado por uma superfície plana infinita com densidade superficial de carga é dado por:
onde é a permissividade do vácuo.

Passo 4

A esfera está em equilíbrio, então as forças que atuam nela devem se balancear. As forças são:
  1. Força Gravitacional ( Fg = M cdot g ): puxa a esfera para baixo e é dada por:
Fevertical = Fe cdot cos(theta)
onde Fehorizontal = Fe cdot sin(theta) é a aceleração da gravidade.
  1. Força Elétrica ( Fevertical = Fg ): atua na direção do campo elétrico e tem componentes horizontal e vertical.
Dado que o ângulo Q cdot E cdot cos(theta) = M cdot g , podemos decompor Q cdot sigma2varepsilon0 cdot cos(60^circ) = M cdot g em:
Para o equilíbrio vertical:
Substituindo:
Substituindo da Passo 3:

Passo 5

Vamos isolar sigma = 2varepsilon0 cdot M cdot gQ cdot cos(60^circ) :
sigma = 2 times 8.85 times 10^-12,C^2/(N cdot m^2) times 0.003,kg times 9.81,m/s^21.13 times 10^-12,C times 0.5
Substituindo os valores:
2 times 8.85 times 10^-12 times 0.003 times 9.81 approx 5.2263 times 10^-13,C^2/m^2
Calculando o numerador:
1.13 times 10^-12 times 0.5 = 5.65 times 10^-13,C
Denominador:
sigma = 5.2263 times 10^-135.65 times 10^-13 approx 0.924,C/m^2
Então:
sigma = 2 times 8.85 times 10^-12 times 0.003 times 9.8111.3 times 10^-12 times 0.5 approx 5.2263 times 10^-135.65 times 10^-12 approx 0.0926,C/m^2
Mas percebemos que isso não bate com as opções dadas. Vamos verificar os cálculos novamente.
Na verdade, houve um erro na interpretação da carga sigma approx 9.26 times 10^-2,C/m^2 . Se , então . Vamos refazer com esse valor:
Convertendo para notação científica:
Arredondando, temos .

Resposta

A densidade superficial é . Portanto, a opção C está correta.

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