Um capacitor de placas paralelas é formado por duas placas condutoras planas, quadradas, de lado , separadas por uma distância .
(b) Demonstre que a capacitância desse capacitor é dada por , quando temos vácuo entre as placas.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um capacitor de placas paralelas, que são duas placas condutoras quadradas com lado , separadas por uma distância , sendo muito menor que ( ). O conteúdo que vamos usar aqui envolve conceitos de capacitância, campo elétrico e relação entre carga, voltagem e capacitância. Vamos precisar das fórmulas básicas de capacitância e das propriedades do campo elétrico entre placas paralelas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a capacitância ( ) de um capacitor é definida pela relação:
onde é a carga armazenada nas placas e é a diferença de potencial (voltagem) entre elas.

Passo 3

Para encontrar , precisamos expressar tanto quanto em termos das dimensões do capacitor e da constante dielétrica do vácuo ( ).

Passo 4

Sabemos que o campo elétrico ( ) entre as placas de um capacitor de placas paralelas é dado por:
onde é a densidade de carga superficial, ou seja, , com sendo a área de cada placa.

Passo 5

Substituindo na expressão do campo elétrico:
Agora, a diferença de potencial entre as placas pode ser encontrada integrando o campo elétrico sobre a distância :

Passo 6

Agora, substituímos na fórmula da capacitância:

Passo 7

Finalmente, substituímos a área por :

Resposta

A capacitância do capacitor de placas paralelas é dada por:

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