Mostre, utilizando cálculo indicial, as seguintes identidades do cálculo vetorial:
Passo 1
Vamos resolver a identidade do cálculo vetorial que envolve o rotacional do produto vetorial de dois vetores
e
. O conteúdo aqui é de Cálculo Vetorial, especificamente utilizando cálculo indicial (notação de índices) para expandir e simplificar expressões envolvendo vetores e suas derivadas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a definição do rotacional em notação indicial e como aplicar propriedades dos produtos vetoriais e diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que o rotacional de um vetor
em notação indicial é dado por:
Aqui,
é o símbolo de Levi-Civita, que é
para permutações pares de (1,2,3),
para permutações ímpares e
se qualquer índice se repete. A notação
representa a derivada parcial em relação à coordenada
.
Passo 3
Queremos encontrar o rotacional do produto vetorial
. Em notação indicial:
Agora, expressamos o produto vetorial
em notação indicial:
Passo 4
Substituímos essa expressão na equação do rotacional:
Agora, vamos utilizar a identidade do produto de dois símbolos de Levi-Civita:
Onde
é o delta de Kronecker, que é
se
e
caso contrário.
Passo 5
Aplicando essa identidade:
Portanto:
Passo 6
Desenvolvemos a expressão:
Simplificando usando as propriedades do delta de Kronecker (
):
Passo 7
Aplicamos a regra do produto para cada termo:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 8
Voltando para a notação vetorial, temos:
Resposta
Exercícios relacionados
Um capacitor de placas paralelas é formado por duas placas condutoras planas, quadradas, de lado
, separadas por uma distância
.
© Considere agora que um dielétrico de permitividade (constante dielétrica) é colocada entre as placas, preenchendo totalmente o espaço entre elas. O campo elétrico máximo que este dielétrico suporta tem módulo
. Calcule a energia elétrica máxima que pode ser armazenada neste capacitor, com o dielétrico entre as placas.
© Considere agora que um dielétrico de permitividade (constante dielétrica)
Um capacitor de placas paralelas é formado por duas placas condutoras planas, quadradas, de lado
, separadas por uma distância
.
(b) Demonstre que a capacitância desse capacitor é dada por , quando temos vácuo entre as placas.
(b) Demonstre que a capacitância desse capacitor é dada por
Mostre, utilizando cálculo indicial, as seguintes identidades do cálculo vetorial:
Mostre, utilizando cálculo indicial, as seguintes identidades do cálculo vetorial: