Mostre, utilizando cálculo indicial, as seguintes identidades do cálculo vetorial:
nabla times(u times v)=u(nabla cdot v)-v(nabla cdot u)+(v cdot nabla) u-(u cdot nabla) v

Passo 1

Vamos resolver a identidade do cálculo vetorial que envolve o rotacional do produto vetorial de dois vetores u e v. O conteúdo aqui é de Cálculo Vetorial, especificamente utilizando cálculo indicial (notação de índices) para expandir e simplificar expressões envolvendo vetores e suas derivadas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a definição do rotacional em notação indicial e como aplicar propriedades dos produtos vetoriais e diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que o rotacional de um vetor A em notação indicial é dado por:
(nabla times A)i = epsilonijk partialj Ak
Aqui, epsilonijk é o símbolo de Levi-Civita, que é 1 para permutações pares de (1,2,3), -1 para permutações ímpares e 0 se qualquer índice se repete. A notação partialj representa a derivada parcial em relação à coordenada xj.

Passo 3

Queremos encontrar o rotacional do produto vetorial u times v. Em notação indicial:
(nabla times (u times v))i = epsilonijk partialj (u times v)k
Agora, expressamos o produto vetorial u times v em notação indicial:
(u times v)k = epsilonklm ul vm

Passo 4

Substituímos essa expressão na equação do rotacional:
(nabla times (u times v))i = epsilonijk partialj (epsilonklm ul vm)
Agora, vamos utilizar a identidade do produto de dois símbolos de Levi-Civita:
epsilonijk epsilonklm = de
Onde de é o delta de Kronecker, que é 1 se i=j e 0 caso contrário.

Passo 5

Aplicando essa identidade:
epsilonijk epsilonklm = de
Portanto:
(nabla times (u times v))i = (de

Passo 6

Desenvolvemos a expressão:
= de
Simplificando usando as propriedades do delta de Kronecker ( de):
= partialj (ui vj) - partialj (uj vi)

Passo 7

Aplicamos a regra do produto para cada termo:
= ui partialj vj + vj partialj ui - uj partialj vi - vi partialj uj
Agrupando termos semelhantes:
= ui (partialj vj) - vi (partialj uj) + vj partialj ui - uj partialj vi

Passo 8

Voltando para a notação vetorial, temos:
nabla times (u times v) = u (nabla cdot v) - v (nabla cdot u) + (v cdot nabla) u - (u cdot nabla) v

Resposta

nabla times(u times v)=u(nabla cdot v)-v(nabla cdot u)+(v cdot nabla) u-(u cdot nabla) v

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