Mostre, utilizando cálculo indicial, as seguintes identidades do cálculo vetorial:

Passo 1

Vamos resolver a identidade do cálculo vetorial que envolve o rotacional do produto vetorial de dois vetores e . O conteúdo aqui é de Cálculo Vetorial, especificamente utilizando cálculo indicial (notação de índices) para expandir e simplificar expressões envolvendo vetores e suas derivadas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a definição do rotacional em notação indicial e como aplicar propriedades dos produtos vetoriais e diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que o rotacional de um vetor em notação indicial é dado por:
Aqui, é o símbolo de Levi-Civita, que é para permutações pares de (1,2,3), para permutações ímpares e se qualquer índice se repete. A notação representa a derivada parcial em relação à coordenada .

Passo 3

Queremos encontrar o rotacional do produto vetorial . Em notação indicial:
Agora, expressamos o produto vetorial em notação indicial:

Passo 4

Substituímos essa expressão na equação do rotacional:
Agora, vamos utilizar a identidade do produto de dois símbolos de Levi-Civita:
Onde é o delta de Kronecker, que é se e caso contrário.

Passo 5

Aplicando essa identidade:
Portanto:

Passo 6

Desenvolvemos a expressão:
Simplificando usando as propriedades do delta de Kronecker ( ):

Passo 7

Aplicamos a regra do produto para cada termo:
Agrupando termos semelhantes:

Passo 8

Voltando para a notação vetorial, temos:

Resposta

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Um capacitor de placas paralelas é formado por duas placas condutoras planas, quadradas, de lado , separadas por uma distância .
© Considere agora que um dielétrico de permitividade (constante dielétrica) К é colocada entre as placas, preenchendo totalmente o espaço entre elas. O campo elétrico máximo que este dielétrico suporta tem módulo . Calcule a energia elétrica máxima que pode ser armazenada neste capacitor, com o dielétrico entre as placas.
Um capacitor de placas paralelas é formado por duas placas condutoras planas, quadradas, de lado , separadas por uma distância .
(b) Demonstre que a capacitância desse capacitor é dada por , quando temos vácuo entre as placas.
Mostre, utilizando cálculo indicial, as seguintes identidades do cálculo vetorial:
Mostre, utilizando cálculo indicial, as seguintes identidades do cálculo vetorial: