Em um dia de inverno no Triunfo, um trabalhador de armazém está empurrando caixas em uma prancha áspera inclinada em um ângulo acima da horizontal
. A prancha está parcialmente coberta de gelo, com mais gelo perto da parte inferior da prancha do que perto da parte superior, de modo que o coeficiente de atrito aumenta com a distância
ao longo da prancha:
, onde
é uma constante positiva e a parte inferior da prancha está em
. (Para esta prancha, os coeficientes de atrito cinético e estático são iguais:
.) O trabalhador empurra uma caixa para cima da prancha de modo que ela deixe a parte inferior da prancha se movendo a uma velocidade
. Mostre que, quando a caixa parar pela primeira vez, ela permanecerá em repouso se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um trabalhador empurrando caixas em uma rampa inclinada no inverno, onde a fricção aumenta conforme a distância na rampa aumenta. A gente vai usar conceitos de dinâmica de corpos em planos inclinados e força de atrito variável para resolver isso. Precisamos descobrir a condição para a caixa, ao parar pela primeira vez, continuar em repouso.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar as forças que atuam na caixa enquanto ela está se movendo na rampa. Temos:
-
Peso §: força da gravidade atuando para baixo, que pode ser decomposta em duas componentes:
- Paralela à rampa:
- Perpendicular à rampa:
- Paralela à rampa:
-
Força de atrito (f): atua contra o movimento e depende do coeficiente de atrito, que aqui é
Como o coeficiente de atrito varia com a posição
na rampa, a força de atrito também vai variar ao longo do caminho.
Passo 3
Vamos escrever a equação do movimento ao longo da rampa. A caixa está desacelerando por causa da força de atrito e a componente do peso que puxa ela de volta:
Como
, substituímos:
Podemos dividir ambos os lados por
:
Passo 4
Agora, reconhecemos que a aceleração
é a derivada da velocidade
em relação ao tempo, e a velocidade
é a derivada da posição
em relação ao tempo. Então, temos:
Mas vamos reescrever em termos de
e
para facilitar a integração. Usando
:
Essa é uma equação diferencial que relaciona
e
.
Passo 5
Vamos integrar essa equação para encontrar a relação entre
e
. Integramos ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo se torna:
Onde
é a constante de integração. Considerando que na posição inicial (
), a velocidade é
:
Então, a equação fica:
Passo 6
Queremos saber quando a caixa para pela primeira vez, ou seja, quando
. Então, substituímos
:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Vamos reorganizar:
Passo 7
Essa é uma equação quadrática em
. Para que a caixa pare e permaneça em repouso, essa equação deve ter pelo menos uma solução real positiva. A condição para isso é que o discriminante
seja maior ou igual a zero:
Calculando o discriminante:
Simplificando por 4:
Mas como tudo é positivo, a condição se reduz a garantir que:
Resposta
A condição para que a caixa permaneça em repouso ao parar pela primeira vez é:
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