Em um dia de inverno no Triunfo, um trabalhador de armazém está empurrando caixas em uma prancha áspera inclinada em um ângulo acima da horizontal alpha. A prancha está parcialmente coberta de gelo, com mais gelo perto da parte inferior da prancha do que perto da parte superior, de modo que o coeficiente de atrito aumenta com a distância x ao longo da prancha: mu(x)=A x, onde A é uma constante positiva e a parte inferior da prancha está em x=0. (Para esta prancha, os coeficientes de atrito cinético e estático são iguais: muc=mue=mu.) O trabalhador empurra uma caixa para cima da prancha de modo que ela deixe a parte inferior da prancha se movendo a uma velocidade v0. Mostre que, quando a caixa parar pela primeira vez, ela permanecerá em repouso se
v0^2 >= 3 g sen^2 alphaA cos alpha

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um trabalhador empurrando caixas em uma rampa inclinada no inverno, onde a fricção aumenta conforme a distância na rampa aumenta. A gente vai usar conceitos de dinâmica de corpos em planos inclinados e força de atrito variável para resolver isso. Precisamos descobrir a condição para a caixa, ao parar pela primeira vez, continuar em repouso.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar as forças que atuam na caixa enquanto ela está se movendo na rampa. Temos:
  • Peso §: força da gravidade atuando para baixo, que pode ser decomposta em duas componentes:
    • Paralela à rampa:
    • Perpendicular à rampa:
  • Força de atrito (f): atua contra o movimento e depende do coeficiente de atrito, que aqui é
Como o coeficiente de atrito varia com a posição na rampa, a força de atrito também vai variar ao longo do caminho.

Passo 3

Vamos escrever a equação do movimento ao longo da rampa. A caixa está desacelerando por causa da força de atrito e a componente do peso que puxa ela de volta:
m a = - m g sin alpha - mu(x) m g cos alpha
Como m a = - m g sin alpha - A x m g cos alpha , substituímos:
a = - g sin alpha - A x g cos alpha
Podemos dividir ambos os lados por :

Passo 4

Agora, reconhecemos que a aceleração d vdt = - g sin alpha - A x g cos alpha é a derivada da velocidade v d vdx = - g sin alpha - A x g cos alpha em relação ao tempo, e a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, temos:
Mas vamos reescrever em termos de e para facilitar a integração. Usando :
Essa é uma equação diferencial que relaciona e .

Passo 5

Vamos integrar essa equação para encontrar a relação entre integral v d vdx dx = integral ( - g sin alpha - A x g cos alpha ) dx e v^22 = - g sin alpha x - 12 A g cos alpha x^2 + C . Integramos ambos os lados em relação a v0^22 = C :
v^22 = - g sin alpha x - 12 A g cos alpha x^2 + v0^22
O lado esquerdo se torna:
Onde é a constante de integração. Considerando que na posição inicial ( ), a velocidade é :
Então, a equação fica:

Passo 6

Queremos saber quando a caixa para pela primeira vez, ou seja, quando 0 = - g sin alpha x - 12 A g cos alpha x^2 + v0^22 . Então, substituímos 0 = -2 g sin alpha x - A g cos alpha x^2 + v0^2 :
A g cos alpha x^2 + 2 g sin alpha x - v0^2 = 0
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Vamos reorganizar:

Passo 7

Essa é uma equação quadrática em De= 0 . Para que a caixa pare e permaneça em repouso, essa equação deve ter pelo menos uma solução real positiva. A condição para isso é que o discriminante De= 0 seja maior ou igual a zero:
g^2 sin^2 alpha + A g cos alpha v0^2 >= 0
Calculando o discriminante:
v0^2 >= 3 g sin^2 alphaA cos alpha
Simplificando por 4:
Mas como tudo é positivo, a condição se reduz a garantir que:

Resposta

A condição para que a caixa permaneça em repouso ao parar pela primeira vez é:
v0^2 >= 3 g sin^2 alphaA cos alpha

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