Em um dia de inverno no Triunfo, um trabalhador de armazém está empurrando caixas em uma prancha áspera inclinada em um ângulo acima da horizontal . A prancha está parcialmente coberta de gelo, com mais gelo perto da parte inferior da prancha do que perto da parte superior, de modo que o coeficiente de atrito aumenta com a distância ao longo da prancha: , onde é uma constante positiva e a parte inferior da prancha está em . (Para esta prancha, os coeficientes de atrito cinético e estático são iguais: .) O trabalhador empurra uma caixa para cima da prancha de modo que ela deixe a parte inferior da prancha se movendo a uma velocidade . Mostre que, quando a caixa parar pela primeira vez, ela permanecerá em repouso se

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um trabalhador empurrando caixas em uma rampa inclinada no inverno, onde a fricção aumenta conforme a distância na rampa aumenta. A gente vai usar conceitos de dinâmica de corpos em planos inclinados e força de atrito variável para resolver isso. Precisamos descobrir a condição para a caixa, ao parar pela primeira vez, continuar em repouso.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar as forças que atuam na caixa enquanto ela está se movendo na rampa. Temos:
  • Peso §: força da gravidade atuando para baixo, que pode ser decomposta em duas componentes:
    • Paralela à rampa:
    • Perpendicular à rampa:
  • Força de atrito (f): atua contra o movimento e depende do coeficiente de atrito, que aqui é
Como o coeficiente de atrito varia com a posição na rampa, a força de atrito também vai variar ao longo do caminho.

Passo 3

Vamos escrever a equação do movimento ao longo da rampa. A caixa está desacelerando por causa da força de atrito e a componente do peso que puxa ela de volta:
Como , substituímos:
Podemos dividir ambos os lados por :

Passo 4

Agora, reconhecemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, e a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, temos:
Mas vamos reescrever em termos de e para facilitar a integração. Usando :
Essa é uma equação diferencial que relaciona e .

Passo 5

Vamos integrar essa equação para encontrar a relação entre e . Integramos ambos os lados em relação a :
O lado esquerdo se torna:
Onde é a constante de integração. Considerando que na posição inicial ( ), a velocidade é :
Então, a equação fica:

Passo 6

Queremos saber quando a caixa para pela primeira vez, ou seja, quando . Então, substituímos :
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Vamos reorganizar:

Passo 7

Essa é uma equação quadrática em . Para que a caixa pare e permaneça em repouso, essa equação deve ter pelo menos uma solução real positiva. A condição para isso é que o discriminante seja maior ou igual a zero:
Calculando o discriminante:
Simplificando por 4:
Mas como tudo é positivo, a condição se reduz a garantir que:

Resposta

A condição para que a caixa permaneça em repouso ao parar pela primeira vez é:

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