Um capacitor de placas paralelas com placas circulares de raio R está sendo carregado. (a) Escreva uma expressão para o campo magnético a uma distância r do eixo central das placas que seja válida para r <= R. (b) Escreva uma
expressão para o campo magnético induzido no caso em que r >= R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um capacitor de placas circulares sendo carregado. Precisamos encontrar expressões para o campo magnético em duas situações diferentes: quando a distância r do eixo central é menor ou igual ao raio das placas ( r <= R) e quando é maior ou igual ( r >= R). Vamos usar conceitos de eletromagnetismo, especificamente as leis de Maxwell, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um capacitor sendo carregado cria um campo elétrico entre as placas. Quando esse campo elétrico muda com o tempo, ele gera um campo magnético, mesmo que não haja corrente elétrica tradicional fluindo. Esse fenômeno é descrito pela corrente de deslocamento de Maxwell.

Passo 3

Para encontrar o campo magnético, vamos usar a Lei de Ampère-Maxwell, que relaciona o campo magnético ao redor de um caminho fechado com a corrente total que passa por esse caminho, incluindo a corrente de deslocamento. A expressão da lei é:
oint B cdot dl = mu0 (I + Id)
onde:
  • B é o campo magnético,
  • dl é um elemento de comprimento ao longo do caminho,
  • mu0 é a permeabilidade do vácuo,
  • I é a corrente elétrica convencional,
  • Id é a corrente de deslocamento.

Passo 4

No caso do capacitor, não temos corrente elétrica convencional passando pelo espaço entre as placas, então I = 0. Porém, a corrente de deslocamento Id é responsável por gerar o campo magnético. A corrente de deslocamento é dada por:
Id = varepsilon0 dPhiEdt
onde:
  • varepsilon0 é a permissividade do vácuo,
  • PhiE é o fluxo do campo elétrico.

Passo 5

Vamos considerar um caminho circular de raio r centrado no eixo do capacitor. Devido à simetria, o campo magnético B será tangencial e terá o mesmo valor em toda a circunferência. Assim, a integral da Lei de Ampère-Maxwell simplifica para:
B cdot 2pi r = mu0 Id
Portanto, o campo magnético é:
B = mu0 Id2pi r

Passo 6

Agora, precisamos calcular a corrente de deslocamento Id. Sabemos que o capacitor está sendo carregado, então o campo elétrico entre as placas varia com o tempo. O fluxo elétrico PhiE é dado por:
PhiE = E cdot A = E cdot pi r^2
Assumindo que E varia com o tempo, temos:
Id = varepsilon0 ddt(E cdot pi r^2) = varepsilon0 pi r^2 dEdt

Passo 7

Substituindo Id na expressão do campo magnético:
B = mu0 varepsilon0 pi r^2 dEdt2pi r = mu0 varepsilon0 r dEdt2
Simplificando:
B = mu0 varepsilon0 r2 dEdt

Passo 8

Sabendo que mu0 varepsilon0 = 1c^2, onde c é a velocidade da luz, podemos reescrever:
B = r2c^2 dEdt

Passo 9

Essa expressão é válida para r <= R. Para r >= R, o campo magnético induzido deve considerar a totalidade da corrente de deslocamento através da área do capacitor, já que o caminho agora envolve toda a área das placas.
Portanto, para r >= R, a expressão se mantém proporcional a 1/r, refletindo a simetria do problema.

Resposta

(a) Para r <= R, o campo magnético é:
B = mu0 varepsilon0 r2 dEdt
(b) Para r >= R, o campo magnético induzido é:
B = mu0 varepsilon0 R^22r dEdt

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