Um capacitor de placas paralelas com placas circulares de raio
está sendo carregado. (a) Escreva uma expressão para o campo magnético a uma distância
do eixo central das placas que seja válida para
. (b) Escreva uma
expressão para o campo magnético induzido no caso em que
.
expressão para o campo magnético induzido no caso em que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um capacitor de placas circulares sendo carregado. Precisamos encontrar expressões para o campo magnético em duas situações diferentes: quando a distância
do eixo central é menor ou igual ao raio das placas (
) e quando é maior ou igual (
). Vamos usar conceitos de eletromagnetismo, especificamente as leis de Maxwell, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um capacitor sendo carregado cria um campo elétrico entre as placas. Quando esse campo elétrico muda com o tempo, ele gera um campo magnético, mesmo que não haja corrente elétrica tradicional fluindo. Esse fenômeno é descrito pela corrente de deslocamento de Maxwell.
Passo 3
Para encontrar o campo magnético, vamos usar a Lei de Ampère-Maxwell, que relaciona o campo magnético ao redor de um caminho fechado com a corrente total que passa por esse caminho, incluindo a corrente de deslocamento. A expressão da lei é:
onde:
-
é o campo magnético, -
é um elemento de comprimento ao longo do caminho, -
é a permeabilidade do vácuo, -
é a corrente elétrica convencional, -
é a corrente de deslocamento.
Passo 4
No caso do capacitor, não temos corrente elétrica convencional passando pelo espaço entre as placas, então
. Porém, a corrente de deslocamento
é responsável por gerar o campo magnético. A corrente de deslocamento é dada por:
onde:
-
é a permissividade do vácuo, -
é o fluxo do campo elétrico.
Passo 5
Vamos considerar um caminho circular de raio
centrado no eixo do capacitor. Devido à simetria, o campo magnético
será tangencial e terá o mesmo valor em toda a circunferência. Assim, a integral da Lei de Ampère-Maxwell simplifica para:
Portanto, o campo magnético é:
Passo 6
Agora, precisamos calcular a corrente de deslocamento
. Sabemos que o capacitor está sendo carregado, então o campo elétrico entre as placas varia com o tempo. O fluxo elétrico
é dado por:
Assumindo que
varia com o tempo, temos:
Passo 7
Substituindo
na expressão do campo magnético:
Simplificando:
Passo 8
Sabendo que
, onde
é a velocidade da luz, podemos reescrever:
Passo 9
Essa expressão é válida para
. Para
, o campo magnético induzido deve considerar a totalidade da corrente de deslocamento através da área do capacitor, já que o caminho agora envolve toda a área das placas.
Portanto, para
, a expressão se mantém proporcional a
, refletindo a simetria do problema.
Resposta
(a) Para
, o campo magnético é:
(b) Para
, o campo magnético induzido é: